Integral doble

Dpto.Matem´aticaAplicada.E.T.S.Arquitectura.U.P.M. C´alculo. Integralestriples.Aplicaciones. 4.Hallarelvolumenlimitadoentrelassuperficies x2+y2=z2 x2+y2=8yparax≥0. Sol.:2048 9. 5.Calculaelvolumeninterioralasuperficie4x2+9y2+z2−36=0yexterioralasuperficie 4x2+9y2−9=0. Sol.:18π√ 3. 6.Hallarelvolumendelaregi´on 6. 7.Hallarelvolumenlimitadoporlosparaboloidesdeecuacionesz=x2+y2yz=2−x2−y2. Soluci´on:Vol=π. Sol.:89π D={(x,y,z)∈R3:x2+y2−z2+4≤0,8−x2−y2≥z,z≥0}. 8.HallarelvolumendelcuerpodefinidocomoD=(x,y,z)∈R3:0≤z≤x2 Sol.:3π. 4+y2 9≤1. 9.Hallarelvolumencomprendidoentrex2+y2+z2=100yx2+y2=z2,z≥0.Sol.: 1000π 32−√ 2. 10.SeaWlaregi´onacotadaporlosplanosx=0,y=0,z=2ylasuperficiez=x2+y2, √ x≥0,y≥0.CalcularWxdxdydz.Sol.:8 2 15. 11.Hallarelvolumenlimitadoentrelassuperficies z2−4=x2+2y2 x2+2y2=5 Sol.:38π√ 2. 12.Calcularelvolumendelrecintointerioralelipsoide4x2+y2+z2−338=0alquesele hanquitadolosdoscasquetescortadosen´elporelhiperboloide4x2+y2−z2+50=0. 13.Hallarelvolumenlimitadoentrelassuperficies x2+y2+3z=4 x2+y2=z2 Sol.:117 12+4π 3. 14.Calculaelvolumeninterioralasuperficie4x2+9y2+z2−36=0yexterioralasuperficie 4x2+9y2−9=0. 15.Hallarelvolumendelaregi´on D={(x,y,z)∈R3:x2+y2−z2+4≤0,8−x2−y2≥z,z≥0}. Sol.:89π 6. 16.Calcularlamasadels´olido D={(x,y,z)∈R3|x2+y2≥2x,x2+y2≤4x,z2≤x2+y2} situadoenelprimeroctante(x≥0,y≥0,z≥0),siendoladensidadm(x,y,z)=y Sol.:12. Departamento De Ciencias Básicas 2014 Cálculo Multivariable CALCULO VECTORIAL. Hasta este momento hemos estudiado, en el cálculo de tres tipos de integrales como son las integrales definidas, las integrales dobles y triples; en este capítulo estudiaremos dos tipos de integrales como son las integrales de línea y las integrales de superficie y el estudio de estos dos conceptos dependen directamente de métodos vectoriales, que a su vez están relacionados con un con las funciones vectoriales. CAMPO VECTORIAL En forma general un campo vectorial es una función cuyo dominio es un conjunto de puntos de o, y el rango esta determinar mediante un conjunto de vectores; es decir: Sea un conjunto de puntos de , una región plana. Un campo vectorial sobre es un función que asigna a cada punto en un vector bidimensional La mejor manera de representar un campo vectorial es dibujar la flecha que representa al vector que inicia en el punto . Como es un vector bidimensional entonces se puede expresar en términos de sus componentes; es decir: Para facilitar nuestro trabajo con las componentes; remplazaremos a por y por entonces: 〈 〉 Para el campo vectorial es de la forma: 〈 〉 INTEGRALES DE

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