Integral Doble

INDICE

Introduccion 3

Dedicatoria 4

CAPÍTULO 1

Integral Doble 5

Propiedades Fundamentales De Las Integrales Dobles 5

Integral Iterada 6

Inversión De Orden De Una Integral Iterada 6

Cambio De Variables En Integrales Dobles 9

Teorema (Cambio De Variable): 9

Teorema (Cambio De Variables Para Integrales Dobles). 9

CAPÍTULO 2

Integrales Triples 13

2. Propiedades De Las Integrales Triples 14

3. Calculo De Integrales Triples En Coordenadas Cartesianas. 15

4. Reducción De Integrales Triples A Integrales Iteradas 17

Cambio De Variables En Integrales Triples.- 18

Conclusiones 21

Bibliografia 22

INTRODUCCION

En este trabajo veremos cómo se aplica las integrales dobles y triples para hallar ya sea áreas o volúmenes respectivamente.

También usaremos el cambio de variable que nos ayuda a facilitar los problemas planteados y desarrollarlos de una manera fácil y sencilla sin tener que hacer cálculos complicados.

El trabajo que se muestra tiene como objeto el familiarizar al lector con los conceptos de integrales dobles y triples con cambios de variables

Dedicatoria

.

Si f(x,y) está definido sobre la región S⊂R^2, entonces la integral doble de f sobre S se define como:

∬_S^.▒f(x,y)dA=∬_S^.▒f(x,y)dxdy

Propiedades Fundamentales De Las Integrales Dobles

Regla de la linealidad:

Sean a y b dos constantes y f,g∶S⊂R^2→R funciones integrables en la región cerrada S, entonces af+bg es integrable en la región S.

∬_S^.▒[af(x,y)±bg(x,y)]dA=a∬_S^.▒f(x,y)dA±b∬_S^.▒g(x,y)dA

Regla de la dominación:

Si la funciones f,g∶S⊂R^2→R son integrables en la región cerrada S y f(x,y)≤g(x,y),∀(x,y)∈S entonces:

∬_S^.▒f(x,y)dA≤∬_S^.▒g(x,y)dA

Regla de la subdivisión:

Sea f,∶S⊂R^2→R una función continua en la región cerrada S si la región S=S_1∪S_2 donde S_1 y S_2 son regiones cerradas y disjuntas, entonces:

∬_S^.▒f(x,y)dA=∬_(S_1)^.▒f(x,y)dA+∬_(S_2)^.▒f(x,y)dA

Sea f,∶S⊂R^2→R un función integrable en la región cerrada S , y supongamos de m y M son los valores mínimos y máximos absolutos de f en S, tal que m≤f(x,y)≤M ∀ (x,y)∈S , entonces:

mA(S)≤∬_S^.▒f(x,y)dA≤MA(S)

Donde A(S) es el área de la región cerrada S.

Integral Iterada

El cálculo de la integral doble ∬_S^.▒f(x,y)dA se hace por cálculo sucesivo de dos integrales; primero se integra con respecto una variable y luego se integra el resultado con respecto a la otra variable. Normalmente cuando se operan estas integrales se realizan de adentro hacia afuera, como se muestra a continuación:

∬_S^.▒f(x,y)dA=∫_a^b▒[∫_(f(x))^(g(x))▒〖f(x,y)〗 dy]dx

∬_S^.▒f(x,y)dA=∫_c^d▒[∫_(j(y))^(h(y))▒〖f(x,y)〗 dx]dy

Inversión De Orden De Una Integral Iterada

Es útil a veces invertir el orden de integración de una integral iterada pues nos da mayor facilidad en el cálculo.

Ejemplo:

Calcular ∫_0^3▒∫_(2/3 x)^2▒e^(y^2 ) dydx

La primera 9inetgral que es respecto a y no se puede integrara entonces nos conviene realizar un cambio de orden:

S={(x,y)∈R^2:2/3 x≤y≤2,0≤x≤3}

Para ayudarnos a la inversión de orden es conveniente graficar la figura.

Invirtiendo el orden de integración tenemos:

S=∫_0^2▒∫_0^(3/2 y)▒e^(y^2 ) dxdy

S=∫_0^2▒〖e^(y^2 ) (├ x┤|_0^(3/2 y) ) 〗 dy

S=3/2 ∫_0^2▒〖ye^(y^2 ) 〗 dy

S=3/4(e^4-1)

Ejemplos De Integrales Dobles:

Calcular la integral doble ∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA ,donde S es unan región limitada por y=2x+1,y=x^2+1

Hallando los puntos de intersección:

{█(y=2x+1@y=x^2+1)┤⟹2x+1=x^2+1

x=0 y x=2 ;son los puntos de interseccion.

Hallando la integral doble:

∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA=∫_0^2▒∫_(x^2+1)^(2x+1)▒〖x^2 y〗 dydx

∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA=∫_0^2▒├ (x^2 y^2)/2┤|_(x^2+1)^(2x+1) dx

∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA=∫_0^2▒〖x^2/2 ((2x+1)^2-(x^2+1)^2 ) 〗 dx

∬_S^.▒〖x^2 y〗 dA=∫_0^2▒(2x^3+x^4-x^6/2)

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