LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER

LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER

Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicas y exponenciales. Este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada.

La Ecuación de Cauchy-Euler es llamada también Ecuación Equidimensional tiene la forma:

Donde, los coeficientes: son constantes reales.

La ecuación de Cauchy – Euler tiene la característica de que el grado de las potencias coinciden con el orden de la diferenciación .

Son ejemplos de ecuaciones de Cauchy:

MÉTODO DE SOLUCIÓN

Para la solución de la ecuación diferencial de Cauchy, se supone que dicha solución tiene la forma donde “m” será una variable por determinar en la cual dependiendo de los valores que resulten viene dada la solución.

Al aplicar esta solución se deben encontrar las derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial, realizar las respectivas sustituciones y proceder a resolver la ecuación polinómica en función de “m” que resulte.

Un método similar al anterior se puede considerar al suponer que las soluciones tiene la forma

CASO 1: raíces reales distintas Sean m1 y m2 las raíces reales, con m1 ≠ m2. Entonces

y forman un conjunto fundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución general es:

RESOLVER

Sea la solución general,

Reemplazando en la ecuación diferencial

Dividiendo por

Luego la solución general es:

CASO 2: raíces reales repetidas Si las raíces son repetidas (esto es, si ml = m2), la solución general es de

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