Ecuaciones Diferenciales y Método de Euler

Ecuaciones Diferenciales y Método de Euler

Sistema masa resorte. Supongamos que una masa [pic 1] está sujeta a un resorte y oscila en presencia de rozamiento el cual actúa como un amortiguador del movimiento, esto se muestra en la siguiente figura:

[pic 2]

Donde:

[pic 3]La posición de la masa con respecto al punto de equilibrio en el tiempo [pic 4]

[pic 5]La velocidad de la masa en el tiempo [pic 6]

Sabemos que la Ley de Hooke establece que la fuerza de restitución del resorte es proporcional a la posición de la masa, esto es:

[pic 7] donde [pic 8] es una constante que depende del resorte

Además, el rozamiento actúa con una fuerza que es proporcional a la velocidad de la masa, esto se escribe como:

[pic 9] donde [pic 10] es una constante que depende de los materiales en contacto

1. Explica por qué:

[pic 11]

O bien:

[pic 12]  =  [pic 13]

Donde: [pic 14] y [pic 15].  

Lo que se ha obtenido es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: La posición [pic 16] de la masa y su velocidad [pic 17].

1. Usa el Método de Euler con [pic 18] para obtener las gráficas de [pic 19] y [pic 20] desde el tiempo [pic 21] hasta [pic 22] para los siguientes casos:

1. [pic 23], [pic 24] sujeto a las condiciones iniciales  [pic 25] y [pic 26]
2. [pic 27], [pic 28] sujeto a las condiciones iniciales  [pic 29] y [pic 30]

Describe brevemente la manera en que oscila la masa.

Oscilación de un péndulo. Supongamos que una masa [pic 31] cuelga de una cuerda de longitud [pic 32] y se pone a oscilar desde el reposo y con una amplitud inicial de [pic 33], tal y como se muestra en la siguiente figura:

[pic 34]

Se desea determinar el tiempo [pic 35] que tarda el péndulo para realizar una oscilación completa.

Establecimiento del modelo. De acuerdo a la segunda ley de Newton tenemos que

[pic 36]

Donde [pic 37] es el torque, [pic 38] es el momento de inercia y [pic 39] es la aceleración angular. Ya que la componente de la fuerza que produce movimiento es [pic 40] y el momento de inercia de una masa puntual a una longitud [pic 41]es [pic 42]entonces:

...