La ecuación diferencial de Cauchy–Euler
Enviado por Abdon Hernandez • 2 de Marzo de 2023 • Prácticas o problemas • 538 Palabras (3 Páginas) • 34 Visitas
Buen día: Ahora aprenderemos un nuevo tema, la solución de la ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CAUCHY - EULER
La ecuación diferencial de Cauchy–Euler de segundo orden, en su forma homogénea es:
ax2y’’+bxy’+cy=0
Y se supone una solución de la forma: y=xr
Y su primera derivada será: y’=r xr-1
Y su segunda derivada será: y’’=r(r-1) xr-2
Por lo tanto: ax2r(r-1)xr-2 + bxrxr-1 + cxr =0
ar(r-1)xr + brxr + cxr = 0
xr[ar(r-1) + br + c] = 0
Y cómo xr debe ser diferente de cero, ya que se considera que está es la solución. Por lo tanto la ecuación que será igual a cero será:
ar(r-1) + br + c = 0
ar2 - ar + br + c = 0
ar2 - (b-a)r + c = 0
Y se tendrá tres casos:
Caso 1. Raíces Reales y diferentes: r1 y r2 Y la solución es: y=c1y1+c2y2 y=c1xr1+c2 xr2 | Caso 2. Raíces Reales e iguales: r1=r2 Y la solución es: y=c1y1+c2y2 y=c1xr+c2 xr lnx | Caso 3. Raíces Complejos Conjugados: r1,2=ab[pic 1] Y la solución es: y=c1y1+c2y2 y=c1xa+bi+c2 xa-bi y=xa[c1cos(b lnx)+ c2sen(b lnx)] |
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