La Derivada Compleja

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DEFINICIONES SEMANA 3

(Video Estándar)

Estimados estudiantes, bienvenidos al curso “Series y transformadas”. Me gustaría hacerles una pregunta: ¿Qué es una derivada de una función compleja?

La Derivada Compleja

Dada una función de variable compleja f(z), la derivada en zo, f´(zo) , se define de la siguiente manera, siempre y cuando existan los limites indicados.

Esta expresión es similar a la expresión de la derivada en funciones de variable real.

Para poseer una derivada en un punto dado, la función de variable compleja ha de ser continua en dicho punto, pero el solo hecho de ser continua no basta para garantizar la existencia de la derivada.

Regla de Diferenciación

𝑓𝑓´(𝑧0

) = lim

𝛥𝛥𝑧→0

𝑓𝑓(𝑧0+𝛥𝛥𝑧)−𝑓𝑓(𝑧0)

𝛥𝛥𝑧

Sean f(z), g(z) y h(z) funciones de z, y c una constante, entonces se cumplen las siguientes reglas de derivación:

Derivada de la adición o sustracción.

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Derivada de una constante c por una función.

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Derivada de un producto

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Derivada de un cociente, siempre que g(z) ≠ 0

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Regla de la cadena

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Derivadas de Funciones Elementales

Al igual que en las funciones de variable real, las derivadas de funciones elementales de una variable compleja se definen de manera similar. A continuación, se muestran las derivadas de funciones elementales complejas:

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A continuación, se resuelve un ejemplo en donde se calcula la derivada de una función de variable compleja.

Ejemplo 1: Sea f(z) = z2 una función de variable compleja. Calcular la derivada de una función usando la definición.

𝑑

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𝑑𝑧

(𝑧2) = lim

𝛥𝛥𝑧→0

𝑧2+2𝑧𝛥𝛥𝑧+(𝛥𝛥𝑧)2−𝑧2

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𝛥𝛥𝑧

= lim (2𝑧 + 𝛥𝛥𝑧) = 2𝑧

𝛥𝛥𝑧→0

Para llegar al mismo resultado como en la expresión anterior, existe un camino más corto.

Esto se logra cuando se hace uso de las conocidas fórmulas de diferenciación. Los nombres comunes son: reglas algebraicas, trigonométricas, inversas, entre otras.

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