Derivadas

ÍNDICE.

Introducción………………………………………………………………………………………..2

Unidad 5 Aplicaciones de las Derivadas.

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales………………………………………………………………………………………..…3

5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial……………………………..……………………………………………………………..5

5.3 Función creciente y Decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión.

Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.………….…………………………………………………………………………………….7

5.4 Análisis de la variación de funciones…………………………………………….…………...21

5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.…………………………………………………..……………………………………….....22

5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas………………..……………………………………………………………………………23

Conclusión……………………………………………………………………………………………25

Bibliografía……………………………………………………………………………………………26

INTRODUCCIÓN.

En ésta investigación se explicarán algunas de las aplicaciones que se le pueden dar a las derivadas, además se analizará el concepto del Teorema de Rolle y su aplicación, y se determinará si es punto máximo o mínimo de una función.

Los temas de los cuales se hablarán y se presentarán ejemplos son los siguientes:

 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.

 Función creciente y Decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión.

Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

 Análisis de la variación de funciones

 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.

UNIDAD 5 APLICACIONES A LA DERIVADA

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES.

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1,

Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .

La tangente es la posición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por

Si representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortogonales, es dada por . Siendo su ecuación:

Suponiendo claro está que . Si entonces la recta normal es simplemente .

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre si la pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f (a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f’(a).

5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL.

Sea es una función continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto , tal que , entonces tiene al menos un punto crítico en , es decir, existe tal que .

Si la función es constante en , su derivada es cero en , es decir

Si no ocurre lo anterior, no es constante y tenemos dos casos, (i) existe un intervalo donde la función crece y luego decrece o bien (ii) decrece en un intervalo para luego crecer (ya que ).

En el primer caso se obtiene un máximo local y en el segundo un mínimo local en ambos caso la tangente en esos puntos ser\a de pendiente cero . De esta forma es un punto crítico.

5.3 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

Hay dos técnicas directas para encontrar tales puntos, estas técnicas generalmente se denominan criterio de la primera derivada y criterio de la segunda derivada.

Para entrar en materia necesitamos definir con precisión que entenderemos por máximo, mínimo, etc.

Sea , diremos que es el valor máximo de la función (\o Valor Máximo absoluto de o simplemente el máximo de ) si para todo elemento se cumple En forma totalmente análoga se define mínimo absoluto o mínimo. Es el valor mínimo absoluto en si

Note que necesariamente el valor máximo (el valor mínimo) es la imagen de un punto ; Se dice ``en esta el máximo de ''(``en esta el mínimo de ").

Si no es inyectiva, pueden existir varios otros elementos de donde alcance el valor máximo o el valor mínimo, sin embargo el valor máximo o el valor mínimo absoluto si existen son únicos.

Por ejemplo la función no es inyectiva, el valor máximo de es y el valor mínimo de es y estos valores son alcanzados en m\as de un punto.

Hay otro concepto de máximo (o mínimo) de que es menos exigente, este es máximo local o relativo (mínimo local o relativo).

En el gráfico de ventas de un producto en el año, una multitienda tiene dos "grandes" meses de ventas Marzo y Diciembre (ver gráfico siguiente)

Pero claramente ambos no son máximo absolutos.

• Sea . Diremos que en hay un máximo relativo o máximo local si existe una vecindad de tal que es el máximo absoluto de la función , es decir, , análogamente se define mínimo local

• Sea . Diremos que tiene un máximo relativo estricto en si existe una vecindad de tal que . Análogamente se define mínimo relativo estricto

• Sea una función continua con gráfica dada en la figura

. Claramente es el máximo absoluto, a diferencia de los valores que son solamente máximo relativo y de los valores que son mínimos relativos únicamente ( son también relativos) Diremos que un valor con es un valor extremo de en si es el máximo o mínimo de alguna especie en y punto extremo al punto donde alcanza el valor extremo. Sea . La grafica de es un trozo de una par\abola y claramente se puede notar mediante su grafica que es el mínimo absoluto y que es el máximo absoluto (también relativo) y máximo absoluto estricto. En este caso tiene tres valores extremos . Sea . Como la función es estrictamente decreciente tiene solo dos valores extremos que es el máximo absoluto en . que es el mínimo absoluto en . Sea . Claramente es estrictamente creciente, por lo tanto el máximo se encuentra en , y este es . Pero esta función no tiene un mínimo, ya que , sin embargo es acotado inferiormente por , pues

No podemos decir que es mínimo absoluto ni local ya que \el debe ser imagen de un elemento del dominio que se está utilizando, en este caso

En estos dos últimos ejemplos se puede visualizar lo útil que resulta tener la información relativa al decreciente o creciente de una función.

.

Por Pitágoras en el triángulo se tiene

luego , de donde .

Además, en el triángulo , se tiene

Sea el costo por de tubería sobre tierra, entonces el costo por km de tubería bajo el agua es

Luego la función que representa el costo de construcción del oleoducto es

donde .

Como es una función continua en y derivable en entonces alcanza su máximo en algún punto a donde o en los bordes del intervalos .

Como ,

evaluando la función en y en los puntos

...