Derivadas

ÍNDICE.

Introducción………………………………………………………………………………………..2

Unidad 5 Aplicaciones de las Derivadas.

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales………………………………………………………………………………………..…3

5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial……………………………..……………………………………………………………..5

5.3 Función creciente y Decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión.

Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.………….…………………………………………………………………………………….7

5.4 Análisis de la variación de funciones…………………………………………….…………...21

5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.…………………………………………………..……………………………………….....22

5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas………………..……………………………………………………………………………23

Conclusión……………………………………………………………………………………………25

Bibliografía……………………………………………………………………………………………26

INTRODUCCIÓN.

En ésta investigación se explicarán algunas de las aplicaciones que se le pueden dar a las derivadas, además se analizará el concepto del Teorema de Rolle y su aplicación, y se determinará si es punto máximo o mínimo de una función.

Los temas de los cuales se hablarán y se presentarán ejemplos son los siguientes:

 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.

 Función creciente y Decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión.

Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

 Análisis de la variación de funciones

 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.

UNIDAD 5 APLICACIONES A LA DERIVADA

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES.

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1,

Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .

La tangente es la posición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por

Si representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortogonales, es dada por . Siendo su ecuación:

Suponiendo claro está que . Si entonces la recta normal es simplemente .

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre si la pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f (a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f’(a).

5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL.

Sea es una función continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto , tal que , entonces tiene al menos un punto crítico en , es decir, existe tal que .

Si la función es constante en , su derivada es cero en , es decir

Si no ocurre lo anterior, no es constante y tenemos dos casos, (i) existe un intervalo donde la función crece y luego decrece o bien (ii) decrece en un intervalo para luego crecer (ya que ).

En el primer caso se obtiene un máximo local y en el segundo un mínimo local en ambos caso la tangente en esos puntos ser\a de pendiente cero . De esta forma es un punto crítico.

5.3 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

Hay dos técnicas directas

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