Derivadas

¿Qué es un intervalo de confianza?

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple 1:

P (-1.96 < z < 1.96) = 0.95

(Lo anterior se puede comprobar con una tabla de probabilidades o un programa computacional que calcule probabilidades normales).

Luego, si una variable X tiene distribución N ( , ), entonces el 95% de las veces se cumple:

Despejando en la ecuación se tiene:

El resultado es un intervalo que incluye al el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95% para la media cuando la variable X es normal y es conocido.

Intervalos de confianza para dos medias y sus aplicaciones.

Los límites para el intervalo de una diferencia de medias correspondientes a dos muestras independientes son:

Donde el símbolo tα/2 es el mismo valor crítico que antes, prob (T > tα/2) = α/2, y corresponde a un intervalo de confianza 1 − α %.

Este intervalo puede utilizarse de manera alternativa al contraste de hipótesis para decidir (con nivel de significación α %) si hay igualdad de los dos grupos. Se decidirá por la igualdad de los grupos si el valor 0 queda incluido en cualquier posición en el intervalo, es decir, el número 0 no ha de estar forzosamente en el centro del intervalo para aceptar H0.

Si se ha planteado el contraste más general H0: μ1 − μ2 = d0 bastará que el valor d0 quede incluido en el intervalo.

Aún si se hace el contraste T de dos muestras, en primer lugar, es aconsejable obtener el intervalo de confianza de la diferencia de medias, si éste ha resultado significativo, puesto que ayudará a interpretar si existe significación aplicada además de la estadística.

Si se dispone de alguna información previa y quiere calcularse sólo alguno de los dos intervalos unilaterales, bastará sustituir tα/2 por tα y descartar el límite superior o inferior del intervalo según el caso. Por ejemplo, el intervalo unilateral derecho corresponde a:

La decisión tomada con este intervalo es totalmente equivalente a la decisión tomada con el contraste t de Student de dos muestras independientes con alternativa unilateral derecha.

EJEMPLOS:

1. Queremos estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los niños al nacer. Para ello se consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman un paquete al día y otras que no) y se obtienen los siguientes datos sobre el peso X, de sus hijos:

En ambos grupos los pesos de los recién nacidos provienen de sendas distribuciones normales de medias desconocidas, y con varianzas que si bien son desconocidas, podemos suponer que son las mismas. Calcular en cuanto influye el que la madre sea fumadora en el peso de su hijo.

Solución:

Si X1 es la v.a. que describe el peso de un niño que nace de madre no fumadora, y X2 el de un hijo de madre fumadora, se tiene por hipótesis que

Si queremos estimar en cuanto influye el que la madre sea fumadora en el peso de su hijo, podemos estimar un intervalo de confianza para , lo que nos dará la diferencia de peso esperado entre un niño del primer grupo y otro del segundo. El estadístico que se ha de aplicar para esta cuestión es:

Donde

Consideramos un nivel de significación que nos parezca aceptable, por

Región que se utiliza para calcular el intervalo de confianza.

Con lo cual se puede decir que un intervalo de confianza para el peso esperado en que supera un hijo de madre no fumadora al de otro de madre fumadora está comprendido con un nivel de confianza del entre los 0,068 Kg y los 0,731 Kg.

2. Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4. Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de los dos tipos de cementos. Por otra parte, supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma desviación estándar.

Solución:

El estimador combinado de la desviación estándar es:

Al calcularle raíz cuadrada a este valor nos queda que sp = 4.41

expresión que se reduce a – 0.72   6.72

Nótese que el intervalo de confianza del 95% incluye al cero; por consiguiente, para este nivel confianza, no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias.

3. Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del tiempo promedio. Suponga varianzas iguales.

Medicamento A Medicamento B

a = 12 nB = 12

SA2= 15.57 SB2 = 17.54

Solución:

2.35   9.25

Con un nivel confianza del 95% se sabe que el tiempo promedio para alcanzar un nivel específico es mayor para el medicamento B.

4. Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes:

Con Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9

Sin Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1

¿Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el suero es efectivo? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales.

Solución:

Primero se probará el supuesto de varianzas iguales con un ensayo de hipótesis bilateral utilizando la distribución Fisher.

Datos:

Con tratamiento

s= 1.97

n = 5

Sin tratamiento

s = 1.1672

n = 4

Ensayo de hipótesis:

Estadístico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor .

Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1= 5-1 = 4 y 2 = 4-1=3.

Regla de decisión:

Si 0.10 Fc 15.1 No se rechaza Ho,

Si la Fc < 0.10 ó si Fc > 15.1 se rechaza Ho.

Cálculo:

Decisión y Justificación:

Como 2.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza, y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.

Con la decisión anterior se procede a comparar las medias:

Ensayo de Hipótesis

Ho; CT- ST=0

H1; CT- ST >0

Los grados de libertad son (5+4-2) = 7

Regla de decisión:

Si tR 1.895 No se Rechaza Ho

Si tR > 1.895 se rechaza Ho

Cálculos:

Por lo tanto sp = 1.848

Justificación y decisión:

Como 0.6332 es menor que 1.895, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que el suero detiene la leucemia.

5. Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule con

= 0.05 si existe diferencia entre los tiempos promedio y obtenga el valor de P. Suponga varianzas iguales.

Medicamento A Medicamento B

nA = 12 Mb = 12

SA2= 15.57 SB2 = 17.54

Solución:

Primero se pondrá a prueba el supuesto de varianzas iguales mediante una prueba de hipótesis con = 0.10.

Ensayo de hipótesis:

Estadístico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor.

Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1=12-1=11 y 2=12-1=11.

Regla de decisión:

Si 0.355 Fc 2.82 No se rechaza Ho,

Si la Fc < 0.355 ó si Fc > 2.82 se rechaza Ho.

Cálculo:

Decisión y Justificación:

Como 1.13 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza, y se concluye con un = 0.10 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.

Con la decisión anterior se procede a comparar las medias:

Ensayo de Hipótesis

Ho; B- A=0

H1; B- A 0

Los grados de libertad son (12+12-2) = 22

Regla de decisión:

Si –2.074 tc 2.074 No se rechaza Ho,

Si la tc < -2.074 ó si tc > 2.074 se rechaza Ho.

Cálculos:

Justificación y decisión:

Como 3.49 es mayor que 2.074, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la media del tiempo para que el medicamento A llegue a un nivel específico en el torrente sanguíneo es distinta de la que toma al fármaco B alcanzar ese mismo nivel.

Intervalo de Confianza para Proporciones y sus Aplicaciones.

En este caso, interesa construir un intervalo de confianza para una proporción o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con hipertensión, fumadoras, etc.)

Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura que:

O bien:

Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral.

Luego, procediendo en forma análoga al caso de la media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para la proporción poblacional p.

EJEMPLOS:

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DESVIACIONES ESTÁNDAR.

También conocido como intervalo de confianza para la varianza. Para estimar un intervalo de este tipo, nos ayudaremos de la siguiente propiedad de la distribución :

Consideremos dos cuantiles de esta distribución que nos dejen una probabilidad en la ``zona central'' de la distribución:

Cuantiles de la distribución .

Entonces un intervalo de confianza al nivel para la varianza de una distribución gaussiana (cuyos parámetros desconocemos) lo obtenemos teniendo en cuenta que existe una probabilidad de que:

Por tanto el intervalo que buscamos es

EJEMPLOS:

1. En un ejemplo anterior se estudiaba la altura de los individuos de una ciudad, obteniéndose en una muestra de tamaño 25 los siguientes valores:

Calcular un intervalo de confianza con para la varianza de la altura de los individuos de la ciudad.

Solución:

Para estimar un intervalo de confianza para (varianza poblacional) el estadístico que nos resulta útil es:

Percentiles del 2,5% y del 97,5% para la distribución.

Por tanto, para el valor poblacional de la desviación típica tenemos que

Con una confianza del 95%, que por supuesto contiene a las estimaciones puntuales y calculado sobre la muestra.

2.-Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

Altura [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190) [190, 195) [195, 2.00)

Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2

Calcular la desviación típica

3.-Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

4. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

5. Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

BIBLIOGRAFÍA

Curso de Inferencia Estadística y Modelo Lineal Simples. Federico Palacios González.207.Madrid España.

Estadística Para Administración y Economía. David R. Anderson.2008.Santa Fe.

OTRAS FUENTES CONSULTADAS

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node104.htm

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03d.html

http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/EPIANAL9.HTM

http://amolasmates.es/pdf/ejercicios/2%C2%BA%20Bach%20Hum/Intervalo%20de%20confianza%20para%20proporciones.pdf

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