La definición de la magnitud y dirección de los vectores en el plano

VECTORES EN EL PLANO

Un vector es una forma matemática mediante la cual representamos fenómenos físicos, mecánicos, de ingeniería, etc. Ejemplo la fuerza de gravedad, la presión ejercida por un vehículo sobre el piso, etc.

Definición: Dados los puntos del plano A (a1, a2) y B(b1, b2) llamamos vector de origen A y extremo B, al segmento orientado . Las coordenadas del vector se obtienen restando a las coordenadas del punto extremo las del origen. Es decir las coordenadas de son (b1 -a1, b2-a2)

Ejemplo: Las coordenadas del vector , donde A (2, -1) y B (3, 3) son (3 -2, 3 + 1) = (1, 4)

Matemáticamente una fuerza se caracteriza por 3 elementos: magnitud, dirección y sentido. Gráficamente se representa por una flecha en la cual se consignan los elementos anteriores.

1) Magnitud: Es la distancia entre su origen y el punto final extremo del vector . Se denomina módulo, valor absoluto o norma de vector.

Fórmula:

2) Dirección: Se representa por el ángulo  que se forma entre la horizontal y la recta que contiene al vector.

Fórmula:

3) Sentido Cada vector admite dos sentidos y está dado por la punta de la flecha.

Ejemplo: El módulo del vector (3,4) es 5 y su dirección es

Ejercicio: Determine magnitud dirección y sentido de los vectores:

a) (1,2)

b) (-3,7)

c) (

d) Origen ( 2,-7) y extremo ( 8,1)

e) Origen ( -1,6) y extremo ( 2,9)

Operatoria en R2

Las operaciones matemáticas con magnitudes escalares obedecen las mismas reglas del álgebra elemental.

Ejercicio: Sea ; ; ; , entonces determine

a) (3,5) + (7,-2)+ 0.-4) = (10,-1)

b) 4(0.-4) = (0,-16)

c) 4 [(3,5) + (7,-2) ] = (40,12)

d) (4+-5) (0,-4) = (-1) (0,-4) = (0,4)

e) 3(3,5)+5 (7,-2) -4(3,5) = (32,-15)

Dependencia Lineal de Vectores

Consideremos el vector y los vectores , , . ¿Cómo se puede expresar el primer vector en función de los otros de modo que entre ellos exista una dependencia?

Solución: El vector en función de los otros vectores se expresa como:

= donde IR (escalares)

(1, 3, 6) =

(1, 3, 6) =

Formando un sistema de ecuaciones de 3x3, se obtiene k1=2 ; k2 = 1 ; k3 =0

Se concluye que los vectores se pueden combinar linealmente.

Definición: se dice que un vector es una combinación lineal de los vectores si existen escalares IR y se verifica que:

=

Definición: Un conjunto de vectores en son linealmente dependientes, si y solamente si, alguno de ellos es combinación lineal de los demás. Entonces existen coeficientes k no todos nulos tales que:

Definición Un conjunto de vectores en IRn son linealmente independientes (L. I.), si y solamente si, alguno de ellos es combinación lineal de los demás. Entonces existen coeficientes k tales que: tal que los escalares k1=k2=k3=….= kn =0

Ejemplo

1) Sean los vectores = (2,3), = (5,7) determine si son L I. o L. D.

Solución

Resolviendo se obtiene que k1=0; k2=0 y k3 =0

2) Compruebe que los vectores = (2,4), = (4,8) son L. D.

Solución



Resolviendo se obtiene que 0=0 el sistema tiene infinita soluciones

Vector Unitario

Se llama vector unitario al vector cuyo valor absoluto o norma es uno.

Ejemplo sea

Observación los vectores unitarios especiales en IR3 se denotan de la siguiente forma:

i = (1, 0, 0) denota el vector unitario en la dirección X.

j = (0, 1, 0) denota el vector unitario en la dirección Y.

k = (0, 0, k) denota el vector unitario en la dirección Z

En consecuencia cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de los vectores unitarios.

Ejemplo

a) (4,2) = 4(1,0) +2(0, 1)=

b) (3, 2, 5) = 3(1, 0, 0) +2(0, 1, 0)+5(0, 0, 1)=

Normalizar un Vector

Se llama normalizar un vector al procedimiento utilizado para conseguir otro vector con la misma dirección y sentido que el vector original, pero de norma igual a 1.

Para ello basta con multiplicar el vector dado por el inverso de su norma.

Es

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