La historia del cálculo

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS

FACULTAD DE INGENIERÍA C-1

MAESTRÍA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

ENSAYO DE LA DERIVADA

TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS

PRESENTA

Emmanuel Álvarez Hernández

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, Mayo de 2014

HISTORIA DEL CÁLCULO

Las principales ideas que sustentan el cálculo se desarrollaron durante un largo período de tiempo. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos.

Para los números griegos los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en el mismo. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de que para los griegos, no todas las longitudes eran números.

Arquímedes , alrededor de 225 a.C., hizo una de las más significativas contribuciones griegas. Su primer avance importante era mostrar que el área de un segmento de una parábola es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y el vértice y 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando por una de las zonas A y continuamente añadiendo más triángulos entre los ya existentes y la parábola para obtener áreas

A, A + A / 4, A + A / 4 + A / 16, A + A / 4 + A / 16 + A / 64, ...

Por consiguiente, el área del segmento de la parábola es

(1 + 1/4 + 1/4 2 + 1/4 3 + ....) = (4/3)

Este es el primer ejemplo conocido de la suma de una serie infinita.

Arquímedes utiliza el método de agotamiento para encontrar una aproximación a la zona de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

Entre otras 'integraciones' de Arquímedes fuera el volumen y área de superficie de una esfera, el volumen y el área de un cono, el área de superficie de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmento de un hiperboloide de revolución .

No se hizo más progresos hasta el siglo XVI cuando los mecánicos comenzaron a conducir a los matemáticos para examinar problemas como centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó De quadratura parábolas en Roma (1606), que siguió los métodos griegos para atacar este tipo de los problemas de la zona. Kepler , en su obra sobre el movimiento planetario, tuvo que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en áreas como sumas de líneas, otra forma cruda de la integración.

Tres matemáticos que hicieron importantes, eran Fermat , Roberval y Cavalieri . Cavalieri pensó en un área como siendo compuesto de componentes que eran líneas y luego resumió su número infinito de 'indivisibles'. Mostró, con el uso de estos métodos, que la integral de x n de 0 a 1 era 1 / (n + 1) por que muestra el resultado para un número de valores de n y deducir el resultado general.

Roberval miró el área entre una curva y una línea que está formado por un número infinito de tiras rectangulares infinitamente estrechos. Se aplicó esto a la integral de x m de 0 a 1 que mostró valor aproximado tenido

(0 m + 1 m + 2 m + ... + (n-1) m)/(m+1) . Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1 / (m + 1) cuando n tiende a infinito, de este modo calculó el área.

Fermat también fue más riguroso en su enfoque, pero no dio pruebas. Se generalizó la parábola y la hipérbola: -

Parábola: y / a = (x / b) 2 a (y / a) n = (x / b) m

Hipérbola: y / a = b / x para (y / a) n = (b / x) m.

En el transcurso de su examinación de y / a = (x / b) p, Fermat calcula la suma de r p desde r = 1 hasta r = n.

Fermat investigó máximos y mínimos considerando cuando la tangente a la curva era paralela al eje x. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se utiliza hoy en día, es decir, la búsqueda de los máximos y mínimos mediante el cálculo cuando la derivada de la función de 0. Descartes produjo un importante método de determinación de las normales en La Géométrie en 1637 basado en el doble cruce. De Beaune extendió sus métodos y la aplicó a las tangentes donde doble intersección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más simple, conocido como La regla de Hudde, que básicamente consiste en la derivada. El método de Descartes y la Regla dde Hudde fueron importantes en la influencia de Newton .

El siguiente paso importante fue proporcionada por Torricelli y Barrow . Barrow dio un método de tangentes a una curva donde se da la tangente como el límite de una cuerda como los puntos se aproximan entre sí conocida como triángulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli y Barrow consideran el problema del movimiento con velocidad variable. El derivado de la distancia es la velocidad y la operación inversa tomada de la velocidad a la distancia. Por lo tanto el conocimiento de la inversa de la diferenciación comenzó a evolucionar de forma natural y la idea de que integral y derivado eran inversas entre sí estaban familiarizados a Barrow . De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuó con esta dirección y declaró el teorema fundamental del cálculo de forma explícita.

Newton escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Este fue un trabajo que no se publicó en el momento, pero visto por muchos matemáticos y tuvo una gran influencia en la dirección que el cálculo debía tomar. Newton pensó en una partícula trazando una curva con dos líneas en movimiento que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x 'y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x e y asociados con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades que fluyen eran x e y. Con esta notación de fluxión y '/ x' era la tangente para f (x, y) = 0.

En su tratado 1666 Newton discute el problema inverso, dada la relación entre x e y '/ x' hallar y. Por lo tanto la pendiente de la tangente fue dada para cada x, y cuando y '/ x' = f (x), entonces Newton resuelve el problema por antidiferenciación. También calculó áreas por antidiferenciación y esta obra contiene la primera declaración clara del Teorema Fundamental del Cálculo.

Newton tuvo problemas al publicar su trabajo matemático. Barrow fue de alguna manera el culpable de esto, ya que el editor del trabajo de Barrow se había ido a la quiebra y los editores eran, después de esto, cautelosos al publicar obras matemáticas. El trabajo de Newton sobre análisis de series infinitas fue escrito en 1669 y circuló en manuscrito. No se publicó hasta 1711. Del mismo modo su Método de fluxiones y series infinitas fue escrito en 1671 y publicado en traducción al Inglés en 1736. El original latín no fue publicado hasta mucho más tarde.

En estas dos obras Newton calculó el desarrollo en serie de sen x y cos x y la expansión de lo que era en realidad la función exponencial, aunque esta función no se estableció hasta que Euler introdujo la notación actual e x.

Leibniz aprendió mucho en una gira europea que le llevó a conocer a Huygens en París en 1672. También se reunió con Hooke y Boyle en Londres en 1673, donde compró varios libros de matemáticas, incluyendo las obras de Barrow. Leibniz iba a tener una larga correspondencia con Barrow . A su regreso a París, Leibniz hizo algunos trabajos muy finos en el cálculo, los cuales fundamenta de manera muy diferente a Newton.

Newton consideró las variables cambiando con el tiempo. El pensamiento de Leibniz acerca de las variables x e y radicaba en el hecho de que van sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo dx y dy como las diferencias entre los valores sucesivos de estas secuencias. Leibniz sabía que dy / dx da la tangente pero no lo usamos como una propiedad definitoria.

Leibniz usó la integración como una suma, de una manera bastante similar a Cavalieri . Él también estaba contento de usar dx y dy como 'infinitesimales' donde Newton utilizó x 'e y' que eran velocidades finitas. Por supuesto, ni Leibniz ni Newton pensaban en términos de funciones, sin embargo, siempre pensaban en términos de gráficos. Para Newton el cálculo era geométrico mientras que Leibniz puso directa atención hacia el análisis.

Leibniz era muy consciente de que la búsqueda de una buena notación era de importancia fundamental y pensó mucho en ello. Newton , por su parte, escribió más para sí mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que pensaba al día. La notación de Leibniz dy y ∫ destacaron el aspecto operador que resultó ser importante en el desarrollo posterior. Por 1675 Leibniz se había ya instalado en esta notación

∫ y dy = y 2/2

Escrito exactamente como sería hoy en día. Sus resultados en el cálculo integral se publicaron en 1684 y 1686 bajo el nombre de 'summatorius cálculo', el nombre de cálculo integral fue sugerido por Jacob Bernoulli en 1690.

Después de Newton y Leibniz el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacob Bernoulli y Johann Bernoulli . Sin embargo, cuando Berkeley hizo mucho esfuerzo en publicar su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y disputando la lógica en que se basa para apretar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base geométrica rigurosa pero la base muy satisfactoria para el cálculo tuvo que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.

BIBLIOGRAFIA:

Artículo de: JJ O'Connor y EF Robertson

Febrero de 1996

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html

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