Laboratorio de ley de arquiímedes.

Informe Laboratorio No. 10

 Energía Cinética Rotacional

Nicolás Tovar, Karen Moncada, Andrés Chávez y Juan Sebastián Duarte

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito

Bogotá, Colombia

Resumen—En este laboratorio se quiso demostrar la teoría deductiva de la aplicación a la energía cinética rotacional. Aplicando conceptos como momento de inercia (I), diferencia entre traslación y rotación, centro de masas con respecto a los cuerpos rígidos, etc. Mostrando de un modo recursivo la diferencia entre traslación y rotación por medio de un riel acanalado se hizo mover una esfera en un plano inclinado donde la aceleración y el deslizamiento son fenómenos influyentes en cada uno. Se encontró que efectivamente la teoría se cumple experimentalmente con un margen de error relativamente bajo que se puede mejorar con respectivas rigurosidades en el laboratorio.

1. INTRODUCCIÓN

Cuando un cuerpo extendido, como una rueda, gira alrededor de su eje, no puede analizarse su movimiento considerando ese cuerpo como una partícula, ya que en cualquier instante sus diferentes componentes tendrán velocidades y aceleraciones diferentes. Por esta razón, es conveniente considerar un objeto extendido como un número grande de partículas, cada una con una velocidad y aceleración propias.

Los cuerpos reales llegan a ser muy complejos; las fuerzas que actúan sobre ellos pueden deformarlos: estirarlos, torcerlos y aplastarlos. Ignorando estas deformaciones y considerando que en un cuerpo no ocurre se le llama a este modelo idealizado cuerpo rígido. El modelo que se utiliza para la rotación de estos cuerpos es muy válido, puesto que hay objetos que su deformación es prácticamente despreciable.

Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética que podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una nueva cantidad llamada momento de inercia, que depende de la masa del cuerpo y de la forma en que se distribuye tal masa.

De este modo se consideran muchas características que no estaban dentro del plano de la teoría de la mecánica de este tipo de cuerpos, y por tanto debe haber una exactitud mucho más asegurada a la hora de producirlas en el laboratorio.

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1. MARCO TEÓRICO

Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética que se puede expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una nueva cantidad llamada momento de inercia, que depende de la masa del cuerpo y de la forma en que se distribuye tal masa [1]

Para deducir esta relación, se considera que el cuerpo está formado por un gran número de partículas, con masas ,…a distancias , …del eje de rotación se rotula con el subíndice i. La masa de la i-ésima es  y su distancia con respecto a la rotación es . Las partículas no tienen que estar todas en el mismo plano, así que se especifica que , es la distancia perpendicular a la partícula i-ésima al eje.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Cuando un cuerpo rígido gira sobre un eje fijo, la rapidez  de la i-ésima partícula está dada por la ecuación:[pic 8]

[pic 9]

Donde  es la rapidez angular del cuerpo. Diferentes partículas tienen distintos valores de r, pero  es igual para todas (En caso de que no, el cuerpo no sería rígido). La energía cinética de la i-ésima partícula es.[pic 10][pic 11]

[pic 12]

La energía cinética total del cuerpo es la suma de las energías cinéticas de todas sus partículas:

[pic 13]

[pic 14]

La cantidad entre paréntesis, que se obtiene multiplicando la masa de cada partícula por el cuadrado de su distancia al eje de rotación y sumando los productos, se denotan con I y el momento de inercia para este eje de rotación [2]:

[pic 15]

La palabra momento significa que I depende de la distribución espacial de la masa del cuerpo; nada tiene que ver con el tiempo. Para un cuerpo con un eje de rotación dado y msas total dada, cuanto mayor sea la distancia del ejea las partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia. En un cuerpo rígido, las distancias  son constantes, en tanto que I es independiente de cómo gira el cuerpo en torno al eje dado.[pic 16]

En términos del momento de inercia I, la energía cinética rotacional K de un cuerpo rígido es:

[pic 17]

1. Desarrollo de la práctica experimental

El desarrollo de la práctica experimental consistió en un montaje que va a describir el movimiento de un cuerpo rígido: una esfera en un plano inclinado.  

1. Diseño

El diseño consiste en un riel inclinado, a cierto ángulo (El cual se eligió de manera arbitraria), que va a permitir el movimiento de una esfera que caerá al vacío de una altura  (Del suelo a la base del riel) y a una distancia  (Distancia horizontal desde la base del riel). El montaje realizado de muestra en la Fig. 1. A su vez, este riel va a ser acanalado, de modo que la esfera va a hacer contacto con dos puntos y se va a redefinir el radio efectivo que tiene contacto de un punto del cuerpo a la superficie.[pic 18][pic 19]

1. Metodología

En esta práctica se quiso tomar medidas de velocidad de forma deductiva. Se tomaron once distancias horizontales , en donde en cada una fue variando la anchura del canal del riel por donde pasaba la esfera (1 mm por cada prueba).[pic 20]

[pic 21]

Fig. 1. Montaje experimental con riel acanalado.

En este tipo de casos que define el experimento ocurre que no se está tratando con partículas; los objetos se trasladan pero también rotan y el efecto de la rotación es el que involucra los cambios observados al variar la apertura del canal. Es posible deducir la ecuación que relaciona la velocidad con el desplazamiento y la aceleración mediante razonamientos que involucran la energía. A parir de la Fig. 1 se considera un plano inclinado con un ángulo  y de altura H y se sube, desde la base del plano, un objeto de masa m [3].[pic 22]

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