Ley De Ampere

LA LEY DE AMPÉRE

En el capítulo anterior estudiamos el efecto de un campo magnético sobre una carga en

movimiento. Ahora nos concentraremos en la fuente misma del campo, y en el presente capítulo

estudiaremos el campo magnético producido por un conductor por el cual fluye corriente.

Presentaremos dos métodos para calcular B: uno basado en una técnica directa, análoga a la ley

de Coulomb para el cálculo de los campos eléctricos, y otro basado en argumentos de simetría,

análogos a la ley de Gauss para los campos eléctricos.

En analogía con nuestro estudio previo de los campos eléctricos de algunas distribuciones de

carga sencillas, investigaremos en este capítulo los campos magnéticos producidos por algunas

distribuciones de corriente sencillas: alambres rectos y anillos circulares. Describiremos también

el campo dipolar magnético, similar al campo dipolar eléctrico y, por último, demostraremos que

la relación entre los campos eléctrico y magnético es mucho más profunda que la que existe en

una simple semejanza de las ecuaciones; la relación se extiende a la transformación de los

campos uno dentro del otro cuando las distribuciones de carga o de corriente son observadas

desde marcos inercia les diferentes.

35-1 La ley de Biot Sarvat

El descubrimiento de que las corrientes producen campos magnéticos lo

observó Hans Christian Oersted en 1820. Oersted observó que, como se

ilustra en la figura 1, cuando se coloca una brújula cerca de un alambre

recto por el pasa una corriente, la aguja se almea siempre

perpendicularmente al alambre (despreciando la influencia del campo

magnético de la Tierra sobre la brújula). Esto fue el primer vínculo

experimental entre la electricidad y el magnetismo, y proporcionó el

comienzo del desarrollo de una teoría formal del electromagnetismo. En

términos modernos, analizamos el experimento de Oersted diciendo que

la corriente en el alambre crea un campo magnético, que ejerce un

momento de torsión sobre la aguja de la brújula y la alinea con el

campo.

Desarrollemos ahora un procedimiento para calcular el campo magnético

debido a una distribución de corriente especificada y, antes de

considerar el campo magnético, repasemos primero el procedimiento

análogo para calcular los campos eléctricos.

La figura 2 muestra dos distribuciones de carga q1 y q de magnitud y

forma arbitrarias. Consideramos los elementos de carga dq1 y dq2 en las

dos distribuciones. El campo eléctrico dE1 creado por dq, en la ubicación

de dq2 está dado por

en donde r es el vector de dq1 a dq2 (Fig. 2), r es su magnitud, y ur

(=r/r) es un vector unitario en la dirección de r. Para hallar el campo

eléctrico total E1 que actúa en dq2 debido a toda la distribución q1,

integramos sobre q1:

La fuerza dF21 que actúa sobre dq2 debida a la distribución de la carga q1

puede entonces escribirse:

Las ecuaciones 1 o 2 (para el campo eléctrico de una distribución de

carga) y 3 (que da la fuerza debida a aquella distribución que actúa

sobre otra carga) juntas pueden considerarse como una forma de la ley

de Coulomb para hallar la fuerza electrostática entre las cargas.

En el caso de los campos magnéticos, buscamos la fuerza entre los

elementos de corriente (Fig. 3). Esto es, consideramos dos corrientes i1

e i2 y sus correspondientes elementos de corriente i1 ds1 e i2 ds2.

Suponemos, basados en nuestros resultados del capítulo anterior, que

las direcciones relativas de los elementos de corriente (especificadas por

los vectores ds1 y ds2) serán importantes y que la fuerza entre las

corrientes puede incluir los productos cruz de los vectores. La ley de

Coulomb de la fuerza entre las cargas se desarrolló como un enunciado

a partir de resultados experimentales; una ley análoga para la fuerza

magnética la propuso el físico francés André-Marie Ampére en 1820,

poco después de conocer los resultados de Oersted. La fuerza magnética

dF21 ejercida sobre el elemento de corriente 2 por i1 puede escribirse,

usando la ecuación 30 del capitulo 34, así:

en donde el campo magnético B1 en la ubicación del elemento de

corriente i2ds2 se debe a toda la corriente i1.

La contribución dB de cada elemento de corriente de i1 al campo total

está dada por

en donde r es el vector del elemento de corriente 1 al elemento de

corriente 2, y Ur es el vector unitario en la dirección de r. Las ecuaciones

4 y 5 juntas dan la fuerza magnética entre los elementos de corriente de

una manera análoga a las ecuaciones 1 y 3 para los elementos de carga.

En la ecuación 5 está incluida una constante indeterminada k, al igual

que incluimos una constante similar en la ley de Coulomb (véase la Ec.

1 del capitulo 27). Se recordará que, en electrostática, teníamos dos

opciones

para determinar la constante en la ley de Coulomb: (1) fijar la constante

igual a un valor conveniente, y usar la ley de la fuerza para determinar

por experimentación la unidad de carga eléctrica o bien (2) definir la

unidad de carga y luego determinar la constante por experimentación.

Elegimos la opción 2, que define a la unidad de carga en términos de la

unidad de corriente. En el caso de la constante en la ley de la fuerza

magnética elegimos la opción 1: fijar la constante igual a un valor

conveniente y usar la ley de la fuerza para definir a la unidad de

corriente, el ampere. Se define que la constante k en unidades del SI

tiene el valor exacto 10-7 tesla * metro/ampere (T* m/A). Sin embargo,

como fue el caso en electrostática, hallamos conveniente escribir a la

constante en una forma diferente:

donde la constante m0, llamada la constante de permeabilidad, tiene el

valor exacto

La constante de permeabilidad m0 desempeña un papel en el cálculo de

los campos magnéticos similar al de la constante de permitividad e0 al

calcular los campos eléctricos.

Las dos constantes no son independientes entre sí; como

demostraremos en el capítulo 41, se enlazan a través de la velocidad de

la luz c, de modo que . Por lo tanto, no estamos en libertad de

elegir a ambas constantes de modo arbitrario; podemos elegir una

arbitrariamente pero entonces la otra está determinada por el valor

aceptado de c.

Ahora podemos escribir los resultados generales para el campo

magnético debido a una distribución de corriente arbitraria. La figura 4

ilustra la geometría general. No estamos ya considerando la fuerza entre

dos elementos de corriente; en su lugar, calculamos el campo dB en el

punto P debido a un solo elemento de corriente i ds. Si nos interesa

calcular el efecto de ese campo sobre las cargas en movimiento o las

corrientes en el punto P, usamos las fórmulas que desarrollamos en el

capítulo anterior. Eliminando los subíndices en la ecuación 5 y usando la

ecuación 6 para la constante k, tenemos

Este resultado se conoce como la ley de Biot y Savart. La dirección de

dB es la misma que la dirección de ds x u, (o sea ds x r), hacia adentro

del plano del papel en la figura 4.

Podemos expresar la magnitud de dB a partir de la ley de Biot y Savart

como

donde q es el ángulo entre ds (que está en la dirección de i), y r, como

se muestra en la figura 4.

Para hallar el campo total B debido a toda la distribución de corriente,

debemos integrar sobre todos los elementos de corriente i ds:

Del mismo modo como lo hicimos en el capítulo 28 para los campos

eléctricos, al calcular esta integral debemos tener en cuenta que no

todos los elementos dB están en la misma dirección (véase la Sec. 28-5

para ejemplos de esta clase de integral vectorial en el caso de los

campos eléctricos).

35-2 APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT-SAVART

Un alambre recto largo

Ilustramos la ley de Biot-Savart aplicándola para hallar B debido a una

corriente ¡ en un alambre recto largo. La figura 5 muestra un elemento

de corriente i ds representativo. La magnitud de la contribución dB de

este elemento al campo magnético en P se encuentra a partir de la

ecuación 8,

Elegimos que x sea la variable de la integración que corre a lo largo del

alambre, y así la longitud del elemento de corriente es dx. Las

direcciones de las contribuciones dB en el punto P para todos los

elementos son las mismas, es decir, hacia adentro del plano de la figura

en ángulo recto con la página. Ésta es la dirección del producto vectorial

ds x r. Podemos entonces evaluar una integral escalar en lugar de la

integral vectorial de la ecuación 9, y B puede escribirse como

Ahora x, qy r no son independientes, estando relacionadas (véase la Fig.

5) por

de modo que la ecuación 10 se convierte en

Este problema nos recuerda su equivalente electrostático. Deducimos

una expresión para E debido a una barra larga cargada por métodos de

integración, usando la ley de Coulomb (Sec. 28-5). Resolvimos

...