Los Topos

Topos

Para la familia de mamíferos que incluye a topos y desmanes, véase Talpidae.

Para la escultura de Eduardo Chillida, véase Topos V.

En matemática, un topos (plural: topos, topoi o toposes - asunto en disputa) es un tipo de categoría que proporciona cierto "concepto" que nos permite formular la matemática clásica "en su interior".

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[editar]Introducción

Tradicionalmente, la matemática se construye usando teoría de conjuntos, y todos los objetos estudiados en matemática son en última instancia conjuntos y funciones. Se dice que la teoría de las categorías podría proporcionar unos mejores fundamentos para la matemática. Analizando exactamente qué propiedades de la categoría de conjuntos y de funciones son necesarias para expresar la matemática, se llega a la definición de topos, y se puede entonces formular la matemática de cualquier topos. Por supuesto, la categoría de conjuntos forma topos, trivialmente. En un topos más interesante, el axioma de elección puede no ser válido, o el principio del tercero excluido (cada proposición es verdadera o falsa) puede fallar. Es así de un cierto interés recoger aquellos teoremas que sean válidos en todo topos, no solamente en el topos de conjuntos. Uno puede también trabajar en topos particulares para concentrarse solamente en ciertos objetos. Por ejemplo, los constructivistas pueden estar interesados en los topos de todos los conjuntos y funciones "construíbles" en algún sentido. Si se considera importante cierta simetría bajo un grupo G, se puede utilizar el topos que consiste en todos los G-espacios. Otro ejemplo importante de topos (e históricamente el primero) es la categoría de todos los haces de conjuntos sobre un Espacio topológico dado. Es también posible codificar una teoría lógica, tal como la teoría de todos los grupos, en topos. Los modelos individuales de la teoría, es decir los grupos en nuestro ejemplo, corresponden entonces a los funtores del topos de codificación a la categoría de conjuntos que respetan la estructura de topos.

[editar]Historia

Artículo principal: Fondo y génesis de la teoría de los topos.

El origen histórico de la teoría de topos es la Geometría algebraica. Alexander Grothendieck generalizó el concepto de haz. El resultado es la categoría de haces con respecto a una topología de Grothendieck - también llamada topos de Grothendieck. F. W. Lawvere decantó el contenido lógico de esta estructura, y sus axiomas condujeron a la noción actual. Observe que la noción de Lawvere, inicialmente llamada topos elemental, es más general que la de Grothendieck, y es la que hoy en día se llama, simplemente, "topos".

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