MECANICA DE CUAERPOS SOLIDOS

PROBLEMA N° 1

El sistema mostrado comienza a moverse a partir del reposo, determine la velocidad de los cilindros de 20 kg A y B después de que A ha descendido la distancia de 2m. La polea diferencial tiene una masa de 15 kg con un radio de giro en su centro de masa de Kc = 100 mm.

Datos:

masas de cilindros mA = mB = 20 Kg

Masa de polea M = 15kg

Radio de giro de polea = 0,1m

Radio de masa B = 0,15m

Radio de masa A = 0,075m

Distancia recorrida por mA = 2m

Hallar vA y vB

Utilizando la relación trabajo y energía expresado de la siguiente manera

T1 + U1-2 = T2 (1)

Donde

T1 = energía cinética de los cuerpos rígidos que forman al sistema en la primera fase

U1-2 = El trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre los diversos cuerpos

T2 = energía cinética de los cuerpos rígidos que forman al sistema en la segunda fase

T1 la energía cinética antes de iniciar movimiento es nula.

U1-2 la suma de los trabajos de las fuerzas actuantes sobre los cuerpos mA y mB, es decir,

Peso mA = mA*g

Peso mB = mB*g

Desplazamiento mA = 2m

Desplazamiento mB = angA*rB

angA = Desplazamiento mA/rA = 2m/0,075m = 26,67 rad

Desplazamiento mB = 26,67rad*0,15m = 4m

Trabajo total U1-2 = mA*g*Desp mA – mB*g*Desp mB

Trabajo total U1-2 = 20kg*9,8m/s2*2m - 20kg*9,8m/s2*4m

Trabajo total U1-2 = 392 N.m

La energía cinética en la fase 2 será la combinación de las energía cinética traslacional de mA y mB y la rotacional de polea diferencial, de la siguiente manera:

T2 = mA*vA2/2 + I*w2/2 +mB*vB2/2 (2)

donde I = momento de inercia de la polea diferencial

Debido a que I = M*Kc2

Sabiendo que vA = rA*w

donde w el la velocidad angular del sistema de rotacional de la polea diferencial

Sustituyendo en (2)

T2 = mA*vA2/2 + I*w2/2 +mB*vB2/2

T2 = mA*rA2w2/2 + M*Kc2*w2/2 +mB*rB2w2/2

Sustituyendo en (1)

392 J = mA*rA2w2/2 + M*Kc2*w2/2 +mB*rB2w2/2

Despejando w

w2 = 392 J/(mA*rA2/2 + M*Kc2/2 +mB*rB2/2) = 392 J / (0,35625kg.m2)

w = 33,17 rad/s

luego vA = rA*w = 0,075m*33,17 rad/s

vA = 2,49 m/s

De la misma manera:

vB = rB*w = 0,15m* 33,17 rad/s

vB = 4,97 m/s

PROBLEMA N° 2

En la figura que se muestra un bloque A de 5 kg que descansa sobre una pĺaca B de 20kg, la cual está conectada a un resorte indeformado de constante k = 900 N/m. La plaza B se mueve lentamente 60mm hacia la izquierda y se suelta desde el reposo. Suponiendo que el bloque A no se desliza sobre la placa, determine:

a) Amplitud y frecuencia del movimiento resultante.

b) El valor permisible mínimo correspondiente del coeficiente de fricción estática.

Datos:

Masa bloque A, mA = 5 kg

Masa bloque B, mB = 20 kg

Constante resorte k = 900 N/m

Deformación resorte x = 0,06m

El sistema bloque A y B se mueve hacia la derecha, como una sola masa bajo acción restauradora del resorte según la ecuación

-kx = M*d2x/dt2 (1)

donde la solución de la ecuación es x = Acos(wt+a), donde el desfase inicial a = 0, la amplitud A para el tiempo t = 0 será, x = 0,06m, ya que

0,06m = Acos(w*0)

La amplitud A = 0,06m

Derivando dos veces x, da d2x/dt2 = -w2Acos(wt), sustituyendo en (1)

-kAcos(wt) = M*-w2Acos(wt)

Luego w2 = k/M, entonces

w2 = 900N/m/(25kg)

w = 6 rad/s

Donde la frecuencia es

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