Mate. Encontrar la ecuación canónica

Encontrar la ecuación canónica de la Elipse con centro en el origen, que tiene vértices en (0, 12) y    (0, -12) y focos en (0, 4) y (0, -4).        

Solución:

Utilizando la fórmula general a2 = b2+c2   se determina que:

La distancia del centro a los vértices se le llama (a) y es a=12

La distancia del centro a los focos se le llama (c) y es c=4

La distancia del centro a los vértices laterales se le llama (b) y no la conocemos.

Podemos hallar (b) despejando:

[pic 1]

[pic 2]

Como los focos son (0, 4), (0, -4), sabemos que el eje mayor es vertical y horizontal el menor. Por lo tanto, se trata de una elipse vertical.

Ahora la fórmula canónica de la elipse vertical centrada en el origen es:

[pic 3]

Reemplazando:

[pic 4]

Obtenemos la ecuación canónica:

[pic 5]

Gráfico

[pic 6]

Ecuación ordinaria o fuera de origen de una elipse con centro en (h, k)

Si el eje focal es horizontal la ecuación ordinaria es:

[pic 7]

Si el eje focal es vertical la ecuación ordinaria es:

[pic 8]

Ecuación General:

Efectuando un proceso algebraico en el que eliminamos los denominadores, desarrollamos los binomios al cuadrado, agrupamos términos semejantes e igualamos a cero, obtenemos:

Si el eje focal es horizontal:

[pic 9]

Si el eje focal es vertical:

[pic 10]

De lo anterior se puede concluir que la ecuación de una elipse con centro en un punto cualquiera y ejes paralelos a los coordenados, siempre puede expresarse en la forma general:

[pic 11]

Hallar la ecuación principal o ordinaria de la ecuación general de la elipse 4x² + 9y² -16x +18y -11 = 0

Solución:

Primero agrupamos en el lado izquierdo las variables y en el derecho las constantes

[pic 12]

Factorizamos el coeficiente del término cuadrado

[pic 13]

Completamos el trinomio de cuadrado perfecto

[pic 14]

[pic 15]

Factorizando lo de los paréntesis

[pic 16]

Dividimos la igualdad entre 36

[pic 17]

Obtenemos la ecuación principal

[pic 18]

Encuentra la ecuación de la elipse en su forma ordinaria si tiene como vértices (-4,3) y (2,3) y tiene como foco (-2,3).

Solución:

Si el foco (-2,3) se encuentra a una distancia de 2 unidades desde el primer vértice (-4,3) podemos deducir que el otro foco se encontrará a 2 unidades desde el segundo vértice (2,3). Es decir el otro foco es (0,3).

Calculando el punto medio de los focos podemos encontrar el centro

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

La distancia del centro a los vértices se le llama (a) y es a=3

La distancia del centro a los focos se le llama (c) y es c=1

La distancia del centro a los vértices laterales se le llama (b) y no la conocemos.

Podemos hallar (b) despejando:

[pic 22]

[pic 23]

Como los focos son (-2, 3), (0,3), sabemos que el eje mayor es horizontal y vertical el menor. Por lo tanto, se trata de una elipse horizontal.

Utilizamos la ecuación

...