Matematica

Un Complejo Z= a + bi tiene su representación geométrica como un punto en el plano y también puede ser expresado en un sistema de coordenadas polares de la siguiente forma :

b (a,b)

ó

b Z= a + bi

Para ubicar el punto (a,b) ó Z en el plano, las coordenadas a y b (rectangulares) son sustituidas por las coordenadas r y j (polares). Donde j es el ángulo medido desde el eje real positivo y r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto (a , b) ó Z.

Los números complejos pueden representarse, por lo tanto, con un vector que sale del origen del sistema de coordenadas rectangulares y llega al punto Z. Las componentes del vector son las mismas que las coordenadas del punto.

a= Re(z) eje X b= Im(z) eje Y

Las coordenadas polares se representan en un círculo, considerando que 0 es el origen y el eje X+ es el eje polar.

Del triángulo rectángulo formado, se obtiene :

a = r cos j y b=r senj

Z= a + bi = r cos j + i sen j = r (cosj + isenj ) = r cisj = rej i

Donde : es el módulo del número Complejo.

es el ARGUMENTO del número complejo.

Z=a + bi = r cis j

En forma desarrollada :

Z= a + bi = r (cosj + isenj )

Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) y Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2)

Definir :

Z1 × Z2 :

Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) = r1 Cisq 1 y

Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2 Cisq 2

Se efectúa el producto de Z1 × Z2

Z1 × Z2 = r1 Cisq 1 × r2 Cisq 2

En Forma desarrollada : = r1(Cosq 1 + iSenq 1)× r2(Cosq 2 + iSenq 2)

Ordenando : = r1× r2(Cosq 1 + iSenq 1)× (Cosq 2 + iSenq 2)

Efectuando el producto de los factores que están entre paréntesis :

Ordenando y sustituyendo i2 por (-1) :

Sacando factor común "i" en los últimos términos :

Por lo tanto, sustituyendo :

y, en la forma abreviada :

En resumen :

En palabras :

"El producto de dos números complejos en forma trigonométrica tiene como módulo el producto de los módulos y como argumento, la suma de los argumentos."

Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) = r1 Cis q 1 y

Z2 = r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2 Cis q 2

Se efectúa el cociente Z1 Z2

Descomponemos así el segundo miembro :

Expresión equivalente a la que sigue :

Aplicando la fórmula de Moivre :

Y por último, multiplicando :

En definitiva :

En palabras : " El cociente de dos números complejos en forma trigonométrica tiene como módulo el cociente de los módulos y como argumento, la diferencia de los argumentos."

C) Z1n (formula de moivre)

Z1n = (r1 Cis q 1)n = (r Cis q )(r Cis q )(r Cis q )..................... (r Cis q )

=

Z1n = (r1 Cis q 1)n = r n Cis(q 1 × n)

O sea :

El módulo de la potencia n-sima de un complejo z es la potencia n-sima del módulo y el argumento es el de Z multiplicado por n.

LA FÓRMULA DE MOIVRE expresa: Para elevar un número complejo en forma trigonométrica a un exponente entero cualquiera n, se eleva el módulo a la potencia n y se multiplica el argumento por n.

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