Matematicas

El papel de la numeración hablada.

Los niños elaboran conceptualizaciones acerca de la escritura de los números, basándose en las informaciones que extraen de la numeración hablada y en su conocimiento de la escritura convencional de los nudos. Para producir los números de cuya escritura convencional no se han apropiado aún, los chicos yuxtaponen los símbolos que conocen disponiéndolos de modo tal que se correspondan con el orden de los términos en la numeración hablada.

La hipótesis según la cual la escritura numérica resulta de una correspondencia con la numeración hablada conduce a los niños a producir connotaciones no convencionales. ¿Por qué ocurre esto? Porque a diferencia de la numeración escrita, la numeración hablada no es posicional.

Otra cuestión que debe ser tomada en cuenta, es la de las operaciones involucradas en la numeración hablada y en la numeración escrita. En la numeración hablada, la yuxtaposición de palabras supone siempre una operación aritmética, operación que en algunos casos es una suma, y en otros es una multiplicación. Por ejemplo cuando escriben 4 1000 ¿están representando la idea de que el valor total de ese número se obtiene multiplicando 4 por 1000?

La numeración escrita es al mismo tiempo más regular y más hermética que la numeración hablada. Es más regular porque la suma y la multiplicación se aplican siempre de la misma manera: se multiplica cada cifra por la potencia de la base a la que corresponde, se suman los productos resultantes de esa multiplicación. Es más hermética porque en ellas no hay ningún rastro de las operaciones aritméticas involucradas y porque las potencias de la base no se representan a través de símbolos particulares sino que sólo pueden inferirse a partir de la posición que ocupan las cifras. Las escrituras numéricas no convencionales producidas por los niños están hechas a imagen y semejanza de la numeración hablada.

La coexistencia de escrituras convencionales y no convencionales puede aparecer también para números de la misma cantidad de cifras: algunos niños escriben convencionalmente números comprendidos entre cien y doscientos. Finalmente la relación numérica hablada y escrita no es unidireccional, evidentemente no es tarea fácil descubrir qué es lo que está oculto en la numeración hablada y qué es lo que está oculto en la numeración escrita.

Del conflicto a la notación convencional.

Dos de las conceptualizaciones descritas en los puntos anteriores llevarán a los niños a conclusiones potencialmente contradictorias: por una parte, ellos suponen que la numeración escrita se corresponde estrictamente con la numeración hablada; y por otra parte, ellos saben que en nuestro sistema de numeración la cantidad de cifras está vinculada a la magnitud del número representado.

La primera manifestación de que los niños comienzan a hacerse cargo del conflicto es la perplejidad, la insatisfacción frente a la escritura por ellos producida. Esta insatisfacción lleva luego a efectuar correcciones dirigidas a “achicar” la escritura, o a interpretarla atribuyéndole un mayor valor, pero estas correcciones son posibles sólo después de haber producido la escritura.

En síntesis, las escrituras que se corresponden con la numeración hablada entran en contradicción con las hipótesis vinculadas a la cantidad de cifras de las notaciones numéricas. Tomar conciencia de este conflicto y elaborar herramientas para superarlo parecen ser pasos necesarios para progresar hacia la notación convencional.

Con los estudios realizados se ha mostrado que los chicos producen e interpretan escrituras convencionales mucho antes de poder justificarlas apelando a la ley del agrupamiento recursivo. Es una opción didáctica tener en cuenta o no lo que los chicos saben, las preguntas que se hacen, los problemas que se plantean y los conflictos que deben superar.

III. Relaciones entre lo que saben los niños y la organización posicional del sistema de numeración.

Según afirman los niños, un número es mayor que otro “porque tiene más cifras” o “porque el primero es el que manda”. Esto ¿se refiere a propiedades de los números o a propiedades de la notación numérica? Estamos tan acostumbrados a usar el lenguaje numérico que en general no distinguimos entre una y la otra.

Mientras que las propiedades de los números son universales, las leyes que rigen los distintos sistemas de numeración producidos por la humanidad no lo son. En nuestro sistema de numeración, el valor que representa cada cifra se obtiene multiplicando esa cifra por una cierta potencia de la base. Si un número tiene más cifras que otro, necesariamente intervendrán en su descomposición potencias de diez de mayor grado que las involucradas en el otro, y en consecuencia será mayor.

Sin embargo, no todo es posicional en la vida de los niños. La numeración hablada viene a interponerse en el camino de la posicionalidad y da origen a producciones “aditivas”. Para interpretar un número representado en forma aditiva es suficiente sumar los valores de los símbolos utilizados.

Un sistema posicional es al mismo tiempo mucho menos transparente y mucho más económico que un sistema aditivo. Es menos transparente porque el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa y porque esa posición es el único rastro de la presencia de una potencia de la base. Es más económico porque, justamente como consecuencia de la posicionalidad, una cantidad finita de símbolos diez es suficiente para anotar cualquier número.

IV. Donde se cuestiona el enfoque usualmente adoptado para enseñar el sistema de numeración.

La modalidad que en general asume la enseñanza de la notación numérica puede caracterizarse así:

-Se establecen topes definidos por grado: en primer grado menores que cien, en segundo menores que mil y así sucesivamente.

-Una vez enseñados los dígitos, se introduce la noción de decena como conjunto resultante de la agrupación de diez unidades, y solo después se presenta formalmente la escritura del número diez. Se utiliza el mismo procedimiento cada vez que se presenta un nuevo orden.

-La explicación del valor posicional de cada cifra en términos de “unidades”, “decenas”, etc. se considera requisito previo para la resolución de operaciones en ese intervalo.

-Se intenta concretar la numeración escrita

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