Medidas de ubicación

Capítulo                2

Medidas de ubicación

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OBJETIVOS                Al concluir el capítulo, será capaz de:

1. Formular lo que es una medida de ubicación en general.
2. Describir una medida de centralización.
3. Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana y la moda, para datos no agrupados.
4. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda, para datos agrupados.
5. Exponer las características de cada medida de tendencia central.
6. Calcular e interpretar fractiles (cuartiles, deciles y percentiles).

MEDIDAS DE UBICACIÓN

En general, una medida de ubicación es un valor que se calcula para un conjunto de datos y que se utiliza para describir los datos en alguna forma. Un promedio, por ejemplo, es un valor, que es representativo de un conjunto de datos. Como tales valores «tienden a situarse en el centro» del conjunto de datos ordenados según su magnitud, los promedios se conocen también como medidas de centralización.

EJEMPLO                El promedio de los números 8, 3, 5, 12, 10, 7 es:

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Observe, en la figura:

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como 7.5 «tiende» a situarse en el centro de los datos ordenados.

Una medida de centralización es un valor que se utiliza para describir el centro de un conjunto de datos. Se pueden definir varios tipos de medidas de centralización. Las más comunes son la media aritmética o simplemente media, la mediana, y la moda.

MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética es la medida de centralización que más se utiliza. La media se calcula sumando los valores de las observaciones y dividiendo por el número total de observaciones. La fórmula para obtener la media de la población es:

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En donde:

• μ        = media de la población. (μ es la letra griega my minúscula).
• N        = tamaño de la población.
• X        = valor.

La fórmula para la media de la muestra es:

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En donde:

•         = media de la muestra.[pic 6]
• n        = tamaño de la muestra.
• X        = valor.

Si no se dice otra cosa, cada vez que se mencione media aritmética, se supondrá que representa la media de una muestra.

EJEMPLO        El ingreso anual (en dólares) para grupo de varios empleados de una empresa constructora es: 6290, 6910, 5830 y 7680.

1. Exprese la fórmula para la media de la muestra.
2. Obtenga la media aritmética.
3. Cuál es su mejor estimación de la media poblacional.

SOLUCIÓN

1. La fórmula para la media de la muestra es:        [pic 7]

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1. La mejor estimación o aproximación de la media poblacional, en este caso, sería la media de la muestra, es decir, $6677.50.

A veces, se asocia a los números  ciertos factores o «pesos»   que dependen de la significación o importancia de cada uno de los números. En este caso:[pic 9][pic 10]

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La media obtenida así se llama media aritmética ponderada.

EJEMPLO                En un restaurante se venden refrescos medianos, grandes y extra grandes, y sus precios (en dólares) son los siguientes: 0.90, 1.25 y 1.50 respectivamente. De los últimos 10 refrescos que se vendieron 6 eran medianos, 3 grandes y 1 extra grande. Calcular el precio promedio de los diez últimos refrescos vendidos.

SOLUCIÓN

En este caso utilizamos la fórmula:         siendo el número de refrescos, el «peso» de cada valor, así:[pic 12]

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Entonces, el precio promedio de los diez últimos refrescos vendidos sería $1.06; nótese que no es lo mismo que $1.22, que se obtendría de simplemente sumar los tres precios y dividir para tres, así:   ¿Por qué? [pic 14]

EJEMPLO                Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1, respectivamente, la media aritmética es:

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Observe que, en este caso, las frecuencias constituyen los «pesos».

EJEMPLO                Las puntuaciones finales de un estudiante en Matemática, Física, Computación y Contabilidad son, respectivamente, 30, 36, 40 y 48. Si la «importancia» que se asigna a estas asignaturas es: 3, 3, 5 y 1, respectivamente, determinar el promedio de puntuación adecuado.

SOLUCIÓN

Se emplea la media ponderada, los pesos que se dan a cada asignatura son las importancias relativas de cada una de ellas. Entonces,

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Es decir, el promedio es 37.

CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIA

La media presenta ciertas características, que se mencionan a continuación:

1. La media siempre se puede calcular para un conjunto de datos cuantitativos (números), siendo la media única.
2. La media es sensible a cada valor de un conjunto. Si uno o dos de estos valores es muy grande o muy pequeño, la media podría no ser un promedio adecuado para representar los datos.

EJEMPLO        Los salarios anuales de cuatro empleados fueron, en dólares,  4000, 5000, 5500 y 30000.

1. Hallar la media aritmética de sus salarios.
2. ¿Se diría que este promedio es representativo de los salarios?

SOLUCIÓN

(a)        

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(b)        La media aritmética $11125 no es, en efecto, representativa de los salarios; el dar esta cifra como un promedio de los salarios sin mayor comentario conduciría a una orientación errónea. Una gran desventaja de la media aritmética es que se ve fuertemente afectada por los valores extremos.

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