Metodo De Biseccion

. Método de bisección

El método de bisección se basa en los teoremas de Bolzano y Valor intermedio, que se emplean para aproximar ceros de funciones.

Supóngase que queremos encontrar los ceros de una función f(x) continua. Dados

dos puntos a y b tal que f(a0) y f(b0) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema de Bolzano que f(x) debe tener, al menos, una raíz en el intervalo [a; b].

El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto:

x=(a_0+b_0)/2

En este momento, existen dos posibilidades: f(a) y f(x), ó f(x) y f(b) tienen distinto signo. El método de bisección se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre. Este proceso puede aplicarse tantas veces como sea necesario para alcanzar la precisión que se requiera.

2.1 Procedimiento general de la bisección

Considere en el intervalo [a, b] la existencia de una única raíz de la ecuación f(x) = 0. El método de la bisección se basa en el hecho de que, para que un intervalo [a, b] tenga una raíz, basta que f(x) sea continua y los signos de f(x) en los extremos san opuestos, es decir:

f(a)f(b) <0.

Gráficamente tenemos:

x_1= (a+b)/2

A continuación se describe el proceso de bisección que permite aproximar dicha raíz.

El primer paso es partir a la mitad el intervalo [a, b], generando dos nuevos intervalos:

[a,(a+b)/2] y [(a+b)/2,b]

Denominemos, por comodidad,

a_1=a, b_1=b, x_1 (a_1+b_1)/2

Es de esperar que, al menos en uno de los intervalos siguientes, se encuentre la raíz buscada.

[a_1.x_1 ], [x_1.b_1 ]

¿Entonces en que intervalo se encuentra la raíz?

Al responder, se ha logrado ubicar la raíz en un intervalo más pequeño.

El nuevo intervalo que contiene a la raíz también se biseca. Al repetir este proceso, el tamaño del intervalo conteniendo la raíz se vuelve cada vez más pequeño.

2.1.2 Algoritmo de Bisección

Si f (a) f (b) > 0 buscar un nuevo intervalo [a, b]

Con f (a) f (b) < 0

Se considera:

x=(a+b)/2

Test de parada

|b-a|{█(<tol Parar.Solución x@ @≥tol Continuar paso 2 )}

Sigue:

f(a)f(x){█( @≤0 → [a,b]=[a,x]@ @≤0 → [a,b]=[x.b])┤ Volver al paso 1

El error absoluto al aproximar la raíz por el punto medio del intervalo en la etapa “n” está acotado por:

1/2^n (b-a)

3. Programación del algoritmo de Bisección en Matlab

Se presenta a continuación un ejemplo de programación en Matlab del método.

clc

clear all

close all

%Función

...