Metodo De Biseccion

Actividad 9

Método de Bisección

1.- Aproximar por el método de Bisección la función f(x) = x3+2x2+10x-20

Para calcular la raíz f(x) cambiamos la ecuación a la forma x3+2x2+10x-20 = 0 de donde tenemos:

Encontrar el punto de intersección de las gráficas de las funciones

El intervalo donde se encuentra la única raíz es en el intervalo 1,2

Tolerancia .001%

Truncamiento 4 cifras

Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos entonces se puede buscar un valor intermedio.

Para calcular f(a) y f(b) se siguen los siguientes pasos:

1. Encontrar los valores iniciales f(a) y f(b) tales que f(Xa) y f (Xb) tienen signos opuestos es decir, f(Xa) • f (Xb)  0

2. Primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre Xa y Xb

Xy = Xa + Xb

2

3. Evaluar f(x)

En este caso, tenemos que f(Xa) y f(Xb) tienen signos opuestos y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo Xa , Xb por lo tanto f(Xa) • f(Xb)  0

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que a  s

Es decir:

La única raíz se encuentra en el intervalo 1,2 .

Para poder aplicar el método de la bisección es importante verificar que si se cumplen las hipótesis requeridas.

- Sabemos que f(x) es continua en el intervalo 0, 1  y verificamos que f(0) y f(1) tengan signos opuestos.

- Para esto sustituimos en valor en la ecuación.

F(0) x3+2x2+10x-20= 0  0

Y si se cumple

Paso 1 Calculamos el punto medio del intervalo 1,2 

Xr1 = 1 + 0 = 0.5

2

Paso 2 Evaluamos f (0.5) = arctan(0.5) + 0.5 – 1 = -0.0363  0

Paso 3 Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz hacemos la siguiente tabla de signos.

f(0) f(0.5) f(1)

- - +

Por lo tanto vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 0.5, 1 .

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo [0.5, 1]

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Xr2 = 1 + 0.5 = 0.75

Aquí podemos calcular el primer error aproximado puesto que ya contamos con la aproximacion actual y la aproximación previa.

a =  0.75 – 0.5 x 100%  = 33.3 %

0.75

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos f(0.75) = arctan (0.75) + 0.75 – 1 = 0.3935  .

Hacemos la tabla de signos

f(0) f(0.5) f(1)

- + -

Puesto que f(0.5) y f(0.75) tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo  0.5, 0.75

Calculamos el punto medio

Xr1 = 0.5 + 0.75 = 0.625

2

Y calculamos el nuevo error

...