Metodo De Biseccion

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

Métodos Numéricos

(CM3201)

Método de la Bisección

Profesor: Ing. Marvin Hernández C.

II semestre 2006

MÉTODO DE BISECCIÓN PARA CALCULO DE RAICES

Es un método cerrado o de intervalos que se utiliza para calcular las raíces de ecuaciones, cuya característica es que las funciones cambian de signo en la vecindad de la raíz. Para esta técnica se requiere proporcionar dos valores iniciales para la raíz.

Definición :

En general, si f(x) es real y continua en el intervalo que va desde XL a XU, y f(XL) y f(XU) tienen signos opuestos, es decir,

entonces hay al menos una raíz real entre XL y XU.

Los métodos de búsqueda incremental aprovechan esta característica localizando un intervalo en el que la función cambie de signo. Entonces, la localización del cambio de signo (y, en consecuencia, de la raíz) se logra con más exactitud al dividir el intervalo en varios subintervalos. Se investiga estos subintervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez más en la medida que los subintervalos se dividen en intervalos cada vez más pequeños .

En numero de iteraciones para el cálculo del valor de XR (valor para el cual la función f(XR) = 0) mas preciso; se definirá mediante el criterio de error relativo porcentual a, donde:

ó

Cuando a es menor que un valor previamente prefijado s, termina el cálculo

Algoritmo

El algoritmo para el método de bisección se puede resumir en los siguientes pasos :

Paso 1 :

Elija valores iniciales inferior, XL, y superior Xu, que encierran la raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(XL)* f(XU) < 0.

Paso 2:

Una aproximación de la raíz XR se determina mediante :

Paso 3:

Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué subintervalo está la raíz :

a) Si f(XL)* f(XU) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga XU = XR y vuelva al paso 2.

b) Si f(XL)* f(XU) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga XL = XR y vuelva al paso 2.

c) Si f(XL)* f(XU) = 0, entonces la raíz es igual a XR; termina el cálculo.

Programa

Para desarrollar el programa se utilizó el Software MATLAB y las herramientas para implementar los m-files.

Programa para ejecutar el método de bisección, evaluando la función particular Paracaídas.

Ejemplo1

Se desea determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m = 68 . 1Kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s. La aceleración de la gravedad es 9.8m/s2 .

Solución :

El problema se resuelve determinando la raíz de la ecuación (1)

Al sustituir los parámetros en(1) se obtiene :

La raíz de la ecuación 1 se define para los valores de c, que hagan f(c) = 0

A continuación se muestra el código de programación para ejecutar el método iterativo de bisección para obtener la raíz de la ecuación 1, donde f(c) = 0.

Ejemplo1

xl = input('Limite inferior del intervalo : ');

xu = input('Limite superior del intervalo : ');

es = input('Criterio de terminacion : ');

imax = input('Numero de iteraciones propuesto : ');

Biseccion (xl, xu, es, imax);

function Biseccion = f(xl, xu, es, imax)

ea = 0;

xr = 0;

iter = 0;

xrold = 0;

while (1)

xrold = xr;

xr = ( xl + xu ) / 2;

iter = iter + 1;

if xr ~= 0

ea = abs (( xr - xrold) / xr ) * 100 ;

end

test = Paracaidista (xl) * Paracaidista (xr);

if test < 0

xu

...