Métodos Numéricos Bisección, Newton y Secante

Tolentino Sánchez Marco Antonio

Instituto Politécnico Nacional [pic 1]

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Azcapotzalco[pic 2][pic 3]

[pic 4][pic 5]

Métodos Numéricos

Método de Bisección, Newton y Secante

Profesor: Romero Pedraza Cesar

Alumno:

Tolentino Sánchez Marco Antonio

[pic 6]Boleta: 2021360459

Grupo: 2MM5

Fecha:27/04/2021

Contenido

Método de Bisección        3

Descripción General        3

Programa en Matlab        4

Ejemplo 1 (Programa, Tabla de valores y Grafica)        5

Ejemplo 2 (Programa, Tabla de valores y Grafica)        6

Ejemplo 3 (Programa, Tabla de valores y Grafica)        7

Método Newton-Raphson        8

Descripción General        8

Programa en Matlab        10

Ejemplo 1 (Programa, Tabla de valores y Grafica)        11

Ejemplo 2 (Programa, Tabla de valores y Grafica        12

Ejemplo 3 (Programa, Tabla de valores y Grafica)        13

Método de la Secante        14

Descripción General        14

Programa en Matlab        16

Ejemplo 1 (Programa, Tabla de valores y Grafica)        16

Ejemplo 2 (Programa, Tabla de valores y Grafica)        18

Ejemplo 3 (Programa, Tabla de valores y Grafica)        19

Cuadro de Comparaciones entre métodos        20

Conclusión        20

Método de Bisección

Descripción General

Este método consiste en obtener una mejor aproximación de la raíz a partir de un intervalo inicial (a,b) en el cual hay un cambio de signo en la función, es decir:

f(a)f(b)<0

Se obtiene el punto medio:

[pic 7]

xm es la nueva aproximación a la raíz, y se vuelve a tomar un intervalo, pero ahora más pequeño, considerando que siga existiendo un cambio de signo en la función, es decir, el nuevo intervalo queda determinado por:

[pic 8]

El método termina cuando se cumple con alguna condición de paro, en este programa la condición es la tolerancia:

[pic 9]

En este método se tiene que mostrar un margen de error el cual se puede calcular con cierta formula: [pic 10]

Este es un método “de encierro”, para aplicarlo se debe contar con un intervalo inicial, en donde f(a)*f(b) < 0. Este método requiere de menos pasos en un programa, sin embargo, converge más lentamente que el de Newton-Raphson.

Los pasos del método son los siguientes:

1.- Localizar un intervalo que contenga al menos una raíz.

2.- Dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en donde f(x) cambia de signo, para conservar al menos una raíz.

3.- Repetir el procesó varias veces hasta cumplir con la tolerancia deseada.

Programa en Matlab

Los programas realizados con anterioridad se deben de enfocar en la resolución de ciertas funciones las cuales serán presentadas más adelante, deberá de presentar la función a evaluar, la tolerancia de la misma función, el valor inicial y el margen de error [pic 11]

Ejemplo 1 (Programa, Tabla de valores y Grafica)

1. Encontrar la raíz (+) de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 − 𝟐 en el intervalo [1,2] con un error de 1%

[pic 12]

Como se muestra en la captura anterior, se desarrolló el programa para la función 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 – 𝟐 y obteniendo como resultado los siguientes resultados.

      X1                 x2                 xm           F(x1) *f(xm)     Error[pic 13]

1.000000         2.000000         1.500000         -0.250000         0.500000                  1.000000         1.500000         1.250000         0.437500         0.250000                  1.250000         1.500000         1.375000         0.047852         0.125000                  1.375000         1.500000         1.437500         -0.007263         0.062500                  1.375000         1.437500         1.406250         0.002457         0.031250                  1.406250         1.437500         1.421875         -0.000488         0.015625                  1.406250         1.421875         1.414063         0.000010         0.007813        

Ejemplo 2 (Programa, Tabla de valores y Grafica)

2.Encontrar la raíz (+) de la función 𝒇(𝒙) = e^-x^3 – 2x + 1 en el intervalo [0.75,1] con un error de 1%

[pic 14]

Como se muestra en la captura anterior, se desarrolló el programa para la función 𝒇(𝒙) = e^-x^3 – 2x + 1 y obteniendo como resultado los siguientes resultados.

  X1                 x2                 xm           F(x1) *f(xm)     Error[pic 15]

 0.750000         1.000000         0.875000         -0.037123         0.125000                  0.750000         0.875000         0.812500         -0.006254         0.062500                  0.750000         0.812500         0.781250         0.009075         0.031250                  0.781250         0.812500         0.796875         0.000532         0.015625                  0.796875         0.812500         0.804688         -0.000141         0.007813                  0.796875         0.804688         0.800781         -0.000029         0.003906                  0.796875         0.800781         0.798828         0.000027         0.001953                  0.798828         0.800781         0.799805         -0.000000         0.000977        

...