Motores Termicos

MOTORES TÉRMICOS BROWNIANOS

Aunque parezca difícil de creer, la paradoja, a pesar de pertenecer a la teoría de la probabilidad, tiene aplicaciones en el campo de la Física, ya que de hecho fue un motor browniano (o molecular) lo que la inspiró.

Para verlo, deberemos interpretar los juegos de Parrondo como una partícula browniana que se encuentra sometida a varios potenciales.

Supongamos que tenemos una partícula browniana unidimensional, la cual va a ocupar un conjunto discreto de posiciones. Esta partícula, puede saltar (de forma probabilística) de una a otra posición en instantes de tiempo que también van a ser discretos. Además, la partícula está sometida a un potencial V(x) que consideramos periódico de periodo 3. Por lo tanto, con tres valores podremos definir el potencial: V(0)=0, V(1)=V, V(2)=V/2. Por último, esta partícula también estará sometida a una fuerza externa que se dirigirá hacia la izquierda. Podremos calcular la energía en cualquier punto como:

¿Qué movimiento realiza la partícula bajo una temperatura T?

Trabajemos ahora en un sistema que se encuentra a una temperatura T, y que tiene n estados distintos, cada uno con su respectiva energía En. Su evolución podrá ser descrita mediante una cadena de Markov y su dinámica vendrá dada por la probabilidad de saltar de un estado i a otro j.

Si nuestra partícula evoluciona con temperatura finita, la posición se comportará del mismo modo que la ganancia en el juego B. No obstante, si la temperatura es muy alta, el sistema se parecerá al juego A. En ambos casos, la fuerza externa será lo que antes denominábamos .

A cualquier temperatura finita, el movimiento de la partícula será hacia la izquierda, ya que es hacia donde va dirigida la fuerza externa. Por lo tanto, el valor medio de la posición, , decrecerá conforme aumente t.

Ahora veamos que ocurre si alternáramos dos temperaturas distintas, T1 y T2: la partícula se movería hacia la derecha, justo en sentido contrario al de la fuerza externa. Esto quiere decir que crece. Una vez más, y al igual que se ha visto anteriormente con los juegos paradójicos de Parrondo, juntando dos dinámicas de decrecimiento obtenemos una de crecimiento. La figura muestra el ejemplo para T1=1, T2=0.3 y la alternancia T1T1T2T2T1T1T2T2 …

Lo más importante de todo esto es que podemos comprobar que la partícula es una máquina térmica. Si tenemos la alternancia entre temperaturas T1T1T2T2, con T1>T2, veremos que su comportamiento es el mismo que el de una máquina térmica: extraerá energía del foco caliente, realizará trabajo en oposición a la fuerza externa y disipará parte de la energía extraída al foco frío en forma de calor.

Estudiemos pues, la energía en un paso , en el que la partícula, por ejemplo, está en contacto con el foco 1. La energía

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