Numeros Complejos

NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

El conjunto C de los números complejos es el de los números de la forma z= a + bi, donde a y b son reales e i=√(-1) , el numero a se denomina parte real de z (Rez), el numero b se denomina parte imaginaria de z(Imz), e i es la llamada unidad imaginaria.

La expresión a+bi recibe el nombre de forma normal u ordinaria de un número complejo.

De la definición se tiene que:

i=√(-1)

i^2=-1,i^3=i*i^2= -i,i^4=i^2*i^2=1,i^5=i*i^4=i,etc.

OPERACIONES

Si z_1= a_1+b_1 i y z_2=a_2+b_2 i,entonces:

z_1+z_2=(a_1+a_2 )+(b_1+b_2 )i

z_1*z_2=(a_1*a_2-b_1*b_2 )+(a_1*b_2+b_1*a_2 )i

AXIOMA DE CAMPO

De la suma:

∀z_1,z_2∈∁ ∶ z_1+z_2∈∁ Axioma clausurativo

∀z_1,z_2,z_3∈∁∶(z_1+z_2 )+z_3= z_1+(z_2+z_3 ) Axioma asociativo

∀z_1,z_2∈∁∶ z_1+z_2=z_2+z_1 Axioma conmutativo

∃e∈∁,∀ z∈∁∶z+e=e+z=z (e=0+0i) A.del neutro aditivo

∃w∈∁,∀z∈∁∶z+w=w+z=e (w= -z) A.del inverso aditivo

Del producto:

∀z_1,z_2∈∁∶z_1*z_2∈∁ Axioma clausurativo

∀z_1,z_2,z_3∈∁∶(z_1*z_2 )*z_3=z_1*(z_2*z_3 ) Axioma asociativo

∀z_1,z_2,∈∁∶z_1*z_2=z_2*z_1 Axioma conmutativo

∃e∈∁,∀z∈∁∶ze=ez=z (e=1+0i) A.del neutro aditivo

∃e∈∁,∀z∈∁^*,z≠0:zw=wz=e (w=z^(-1) ) A.inverso multiplicativo

Observación:∁^*= ∁-{0}

Relación entre la suma y el producto

z_1*(z_2+z_3 )=z_1*z_2+z_1*z_3 Distributiva por la izquierda

(z_1+z_2 )*z_3=z_3*z_1+z_3 z_2 Distributiva por las derecha

De lo anterior se puede afirmar que el sistema matemático constituido por el conjunto de los números complejos con las operaciones de adición y multiplicación (C,+,.) constituye un campo.

Observaciones:

El inverso aditivo de un número complejo z=a+bi es –z=-a-bi.

Si z=a+bi es un número complejo, entonces z ̅=a-bi se llama su conjugado.

Si en z=a+bi,b=0 se obtiene un número real. Así, el conjunto de números reales es subconjunto del conjunto de números complejos.

Ejemplo

Efectuar las operaciones indicadas, simplificar y expresar los resultados en la forma normal.

(5-6i)+(2+4i)

(5-6i)*(2+4i)

1/(3-2i)

(3-2i)/(4+5i)

CLASE Nº 27

Solución:

(5-6i)+(2+4i)=7-2i

(5-6i)*(2+4i)=10-12i+20i+24i^2=34+8i

1/(3-2i)=1/(3-2i)*(3+2i)/(3+2i)=(3+2i)/(9+4)=3/13+2/13 i

(3-2i)/(4+5i)=(3-2i)/(4+5i)*(4-5i)/(4-5i)=(12-8i-15i+10i^2)/(16+25)=(2-23i)/41=2/41-23/41 i

REPRESENTACION GRAFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario.

Tomando como base que la representación de un número complejo es

z=a+bi

y

b

x

a

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

Se representa el número complejo z=a+bi como un punto de coordenadas (a,b) denominado vector posición. Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a,b) a la que llamaremos r, y que es igual al módulo de z. Esta distancia forma con respecto al eje positivo un ángulo φ.

y

Eje imag.

z (a,b)

□(→┬r ) b

z

a Eje Real.

TEOREMA DE DEMOIVRE

Es una fórmula para calcular las potencias z^n de un número complejo z. El teorema de DeMoivre establece que si un número complejo z=r(cosx+senxi), entonces z^n=r^n (cosn θ+sen nθi) en dónde n puede ser entero positivo, entero negativo y exponente fraccionario.

Ejemplo

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