NÚMEROS COMPLEJOS

Tema 6. NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos surgen, como siempre que se amplía el concepto de número con nuevos conjuntos numéricos, de la necesidad de resolver ecuaciones:

La ecuación no tiene solución en el conjunto de los números naturales (ℕ) si a > b, lo que obliga a “crear” el conjunto de los números enteros (ℤ), que incluye al anterior, pero que incorpora los números negativos.

La ecuación no tiene solución en ℤ si b no es múltiplo de a. Ello obliga a “crear” el conjunto de los números racionales (ℚ), que incluye a ℤ, pero que incorpora las fracciones y cualquier número decimal que pueda convertirse en fracción: con un número finito de cifras decimales, y decimales periódicos.

La ecuación no tiene solución en ℚ, salvo en el caso en que sea un cuadrado perfecto, por lo que se hizo necesario “crear” el conjunto de los números reales (ℝ), que incluye a ℚ, pero que incorpora las raíces, los logaritmos y otros números como π, e, y cualquier número decimal que tenga infinitas cifras no periódicas.

Los números de todos estos conjuntos pueden representarse en la llamada “recta real” y, entre todos ellos, “llenan la recta”, es decir, todo número real es un punto de la recta, y todo punto de la recta corresponde a un número real. No hay sitio en la recta real para ningún otro número, lo que parecía acabar con la ampliación.

Sin embargo, la ecuación u otras del mismo tipo, no tienen solución en el conjunto de los números reales, porque no hay ningún número que elevado al cuadrado sea negativo. Si queremos resolver el problema de las raíces de índice par de números negativos, hemos de pensar en otro tipo de números, y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario). En 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de i.

Quedaba el problema de cómo representar estos números.

Se pensó en otro eje, el eje imaginario, donde representar los números múltiplos de i, que serían imaginarios puros.

El eje imaginario, perpendicular al eje real, determina con éste un plano, el plano complejo, donde cada punto (afijo) representa un número complejo . Así, los números reales, representan sólo un caso particular de un conjunto mucho más amplio, el de los números complejos (ℂ)

Definición: Se llama número complejo a una expresión de la forma a + bi, donde a y b son números reales. El número a se llama parte real. El número b es la parte imaginaria.

Ej. 5 + 3i (5 es la parte real, 3 la parte imaginaria)

-7 + 4i (- 7 es la parte real, 4 la parte imaginaria)

-1 - i (- 1 es la parte real, - 1 la parte imaginaria)

Son casos especiales los complejos que tienen la parte real o imaginaria nula:

Si b = 0, el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.

Si a = 0, el número complejo se reduce a bi; se dice que es un número imaginario puro.

Si a = 0 y b = 0, resulta el número complejo 0 + 0i, que se llama número complejo cero, y se escribe 0.

Dos números complejos son iguales si lo son las partes reales e imaginarias, respectivamente.

Se llama conjugado de z = a + bi al número complejo definido por = a - bi.

Representación de un número complejo: En el plano complejo, un número complejo z = a + bi

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