Numeros Complejos

Introducción

La matemática, es una área académica muy importante en la cual se destacan mucho los números complejos los cuales son un expresión en la forma “ a + b.i ”, en donde “a” y “b” son números reales e “i” es la unidad imaginaria, asimismo esto pueden ser representados en distintas formas tanto en la forma binómica, exponencial, polar o trigonométrica, además se utilizas diversas operaciones en ellas como: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radiación, entre otros y es por tal motiva que buscamos inculcarnos en este tema tan relevante de las matemática y como las matemáticas están en todo los que hacemos que mejor forma de aprender sobre ellas que con una investigación exhaustiva y bien echa sobre el tema en cuestión.

Números complejos

es toda expresión en la forma “ a + b.i ”, en donde “a” y “b” son números reales e “i” es la unidad imaginaria.

Suma de números complejos

La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(5 + 2 i) + ( −8 + 3 i) =

(5 − 8) + (2 + 3)i = −3 + 5i

Resta de números complejos

La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales e imaginarias entre sí (se resuelve de la misma forma que la suma)

( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(5 + 2 i) + (− 8 + 3 i) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante: 0

(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i

División de números complejos

La división es la operación inversa de la multiplicación. Esto es, dividir un número complejo entre otro es el resultado de multiplicar el primero por el inverso del segundo.

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Ejercicios

Resolución:

Potencias de la unidad imaginaria

La unidad imaginaria i se puede multiplicar por ella misma como cualquier número real, obteniéndose entonces lo que se llaman las potencias de la unidad imaginaria.

Así pues, se trabaja de la siguiente manera:

• por convenio se establece que i0=1, como pasa con cualquier otro número real.

• para las cuatro primeras potencias se tiene:

i1=i

i2=i⋅i=−1−−−√⋅−1−−−√=(−1−−−√)2=−1

i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i

i4=i3⋅i=(−i)⋅i=−(i2)=−(−1)=1

Donde cada una de las potencias se obtiene multiplicando la anterior por i.

Las siguientes potencias se pueden calcular a partir de las anteriormente calculadas.

Veamos como siguen:

i5=i4⋅i=1⋅i=i=i1

i6=i5⋅i=i⋅i=i2

i7=i6⋅i=i2⋅i=i3

i8=i7⋅i=i3⋅i=i

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Así pues, forman una sucesión periódica, pues los valores de las cuatro primeras potencias que son i,−1,−i,1 se repiten indefinidamente. Esto es porque si se quiere la potencia enésima de la unidad imaginaria (es decir, se quiere calcular in), ésta coincide con la potencia de i que tiene por exponente el resto de la división de n entre 4.

Es decir, in=i4q+r donde n=4q+r es la división euclídea común. Una vez tenemos esto, mediante las propiedades de las potencias podemos escribir:

in=i4q+r=i4q⋅ir=(i4)q⋅ir

pero como hemos visto que i4=1 entonces esto nos queda:

in=(i4)q⋅ir=(1)q⋅ir=ir

Así pues, basta que calculemos ir donde r corresponde al resto de la división de n entre 4.

De manera que rápidamente se puede calcular in=ir qque siempre será una de las potencias anteriormente calculadas, dado que r sólo puede ser 0, 1, 2 o 3.

Ejemplos:

i347 parece una potencia muy difícil, pero si hacemos la división de 347 entre 4 obtenemos 347=4⋅86+3 de manera que el resto es 3. Por eso podemos escribir: i347=i4⋅86⋅i3=i3

Entonces miramos la tabla que hemos escrito anteriormente con las primero cuatro potencias de i y observamos que i3=−i. Por lo que nos quedará: i347=i3=−i

Números imaginarios

Un número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo.

Ejemplos de números imaginarios

i 12.38i -i 3i/4 0.01i -i/2

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Los números reales

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , y es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo

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