Numeros Complejos

DIE GANZEN ZAHLEN HAT DER LIEBE GOTT GESCHAFFEN,

ALLES ANDERE IST MENSCHENWERK.

Leopold Kronecker

INTRODUCCIÓN:

La matemática (conocimiento "lo que se aprende") es una ciencia la cual se encarga del estudio, análisis y razonamiento lógico de las relaciones cuantitativas de números, figuras geométricas, símbolos, etc. Esta es una ciencia muy extensa que a su vez se subdivide en ramas como lo son calculo, trigonometría, geometría, entre otras que tiene un campo definido. En este caso son interesaremos por el álgebra lineal cuya rama de las matemáticas se encarga del estudio de conceptos como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales. Y para comprender mejor estos conceptos empezaremos estudiando los NUMEROS COMPLEJOS. Por lo tanto en este ensayo definiremos dichos números.

DESARROLLO:

Todo numero complejo proviene de la suma de un número real y un número imaginario dicho numero tiene la forma (a + bi) siendo “bi” la representación de la parte imaginaria (compuesta por “b” un número real e “i” un numero imaginario), y “a” la parte real. Estos números se utilizan en todos los campos de las matemáticas así también en muchos otros campos de la física, mecánica, ingeniería, etc.

Para definir con mayor propiedad citemos lo siguiente:

A toda expresión en la forma a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria ( ) recibe el nombre de Número Complejo.

Se designan a los números complejos con la letra Z; así Z = a + bi (a Î Â)

Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de esta forma: Re (z) = a

Y a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE IMAGINARIA. Im (z) = b

Como ya sabemos las operaciones fundamentales de son: SUMA, RESTA, DIVISIÓN, Y MULTIPLICACIÓN. Las cuales son las mismas operaciones básicas (fundamentales) para los números complejos. Así que se muestran algunos ejemplos.

Para sumar dos complejos z1 =a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a1, b1) y (a2,b2), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z1 + z2.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z1 y z2, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z1 • z2. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1) • (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º (i al cuadrado = -1), dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.

También dentro del ramo de números complejos encontramos la teoría de moivre en la cual se expresa lo siguiente:

Para elevar un número complejo en forma trigonométrica a un exponente entero cualquiera n, se eleva el módulo a la potencia n y se multiplica el argumento por n.

A continuación se presenta un caso práctico (ejercicio).

1.

2. Efectuar :

3. resolver : Z2 = 21 - 6i

3. Sean Z1 = -2 + 3i ; Z2 = 2 + 2i ; Z3 = 4i . calcular

a. calcular :

...