Numeros Complejos

Reseña Histórica

El campo de los números complejos es aún más grande que el de los números reales, ya que los incluye, y a su vez, generan la representación de la unidad imaginaria en el par de números que conforman la cantidad compleja; la evolución del cálculo matemático ha dado apertura a este sistema que, al igual que el de los números reales, surge a partir de la necesidad de solucionar problemas numéricos abstractos.

Se tiene el concepto primitivo y erróneo de que las cantidades complejas son “otras matemáticas”, prácticamente antagónicas a los números reales; no obstante, se encuentran estrechamente relacionadas, sobre todo tras estudiar sus propiedades y su origen, mismo que será descrito a continuación.

El sistema de los números reales fue el resultado de la búsqueda de un sistema (definido como un conjunto abstracto regido por ciertas reglas) que incluyera a los números racionales, pero que también diera lugar a los irracionales, mismos que proporcionan soluciones a ecuaciones como Históricamente, una consideración similar dio origen a la extensión de los números

reales. A principios del siglo XVI, Gerónimo Cardano consideró ecuaciones cuadráticas y cúbicas, como por ejemplo donde ningún valor real dado a era satisfactorio.

La fórmula cuadrática √ aplicada a este tipo de ecuaciones presentaba ciertas definiciones formales de las posibles soluciones, sin embargo, al expresar números negativos subradicales, Cardano observó que si estos números “complejos” generados son tratados como cualquier número ordinario, tomando en cuenta que eventualmente se presentará el caso de que √(√), estos resolvían, en efecto, las ecuaciones; planteando por vez primera, con base en la revisión de estos estudios con el matemático Tartaglia(1), la aplicación de estos entes numéricos fuera de los números reales para resolver sus limitaciones en la resolución de ecuaciones.

Sin embargo, no fue sino hasta el siglo XVIII con el trabajo de Leonhard Euler, que el campo de los números complejos y sus propiedades fueran tratados con mayor profundidad, fue él quien designó el símbolo para la unidad imaginaria, al representar la forma compleja de se consideraba ya de manera más explícita que el número real no sería entonces otra cosa más que un caso especial de número complejo, donde la parte imaginaria es igual a cero: un enfoque diferente sobre el campo de los números reales como subconjunto delimitado por el conjunto complejo. En Ingeniería Electrónica, al desarrollar el uso de los números complejos en sus estudios, se ha preferido usar el símbolo en lugar del propuesto por Euler para evitar confundirlo con el símbolo de la corriente eléctrica.

(1) De hecho, se tiene una polémica al respecto del trabajo entre Cardano y Tartaglia: Tartaglia jamás estuvo de acuerdo con que Cardano diera a conocer esta teoría básica de los números complejos, ya que él lo retenía como uno de sus “trucos secretos” para resolver ecuaciones de grado superior a dos; sin embargo, Cardano lo consideró muy relevante debido a que él fue de los primeros matemáticos en hacer amplio uso de los números negativos, escasamente dominados en ese entonces, “pocos se dan a la idea de que tener una deuda es tener menos que nada” solía decir.

Posterior a la controversia entre estos dos personajes, quienes comenzaban a desacreditarse entre sí, Rafael Bombelli retomó los estudios de ambos a través de las publicaciones de Cardano para continuar con el estudio de los números complejos, y es por tal motivo que Bombelli es considerado por muchas fuentes como el verdadero precursor de este estudio, aún cuando tuvo sus precedentes.

Fue Euler también quien proporcionó la fórmula en la cual se indicó la existencia de la profunda relación entre los números complejos y las funciones trigonométricas, además de que esta expresión daría apertura a su demostración gráfica, misma que aprovecharía Casper Wessel y Karl Gauss en el siglo XIX, éste último expuso el diseño del plano Gaussiano para representar en los ejes coordenados real e imaginario, los números complejos dispuestos gráficamente tanto de forma rectangular como polar.

Con los números complejos se ha podido definir mediante generalidades todas las operaciones aritméticas y algebraicas; así podemos explicar la extracción de raíces de índice par de los números negativos, la logaritmación de números negativos; las soluciones de una ecuación de n grados, sentando las bases del teorema fundamental del álgebra y demás contribuciones a las matemáticas, ampliando su panorama en la resolución de problemas que en un principio parecían imposibles. Con teorías más avanzadas, se ha clarificado la conceptualización de número complejo, a tal grado de demostrar que en realidad, los números imaginarios no tienen tanto de “imaginario” después de todo.

Propiedades de los números complejos

Potencia

Extracción de raíces.

Para obtener la raíz enésima de un número complejo, éste debe expresarse en la forma trigonométrica, de esta manera es posible aplicar el teorema de Moivre para demostrar la fórmula general, y con base en ella, obtener resultados prácticos, convenientes y gráficamente demostrables.

Al considerar que la radicación o extracción de raíces consiste en la operación inversa a la potenciación, podemos partir desde la fórmula obtenida para la potencia de un número complejo, misma que a su vez tiene sustento en el teorema de Moivre: []

Esto implica que si el módulo de la enésima potencia de un número complejo es igual a la enésima potencia del módulo de ese número, y el argumento es entonces igual a n veces el argumento del número complejo, podemos comprobar que esto se cumpla para un número complejo cuyo módulo y argumento sean: [()]

La enésima potencia de éste número debe ser igual al número complejo en su forma trigonométrica original.

{[()]}

Para suprimir el exponente en la ecuación, elevamos ambos miembros a la []

Y de esta manera la ecuación, basada en el teorema de Moivre, nos demuestra que también es válido para el exponente , que representa el recíproco de cualquier entero positivo. Entendiendo dicha expresión, por leyes

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