Numeros Reales

TRABAJO PRÁCTICO N° 1

NUMEROS REALES

1. - Hallar las expresiones decimales de los siguientes números racionales:

a) 16 b) 37 c) 20 d) -314

15 22 105 999

2.- Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta?

a) el producto de dos números racionales es racional;

b) el producto de dos números irracionales es irracional;

3.- Con una calculadora hallar los siguientes valores redondeados

a) ( 2,102 . 106 ) . ( 3,581 . 104 ) b) ( 6,238 . 10 -2 ) / ( 8,973 . 10 3 )

c) [ ( 4,837 x2 ) - ( 2134 . 103 ) ] / 9,637 d) ( 25,28 + 30,025 )4

4.- Sin usar calculadora probar que:

√ 2 + √ 6 < √3 + √ 5

5.- Probar las siguientes inecuaciones bajo la hipótesis de que todas las cantidades son positivas. Determinar las condiciones bajo las cuales vale el signo de igualdad:

a) a + 1/a ≥ 2 b) ( c + d )2 ≥ 4 cd

c) x2 + y2  2 xy d) ( a + 5b ) ( a + 2b ) ≥ 9b ( a + b )

6.- Hallar los valores de x que cumplan las siguientes inecuaciones:

a) 5 x - 3 < 7 b) 1,5 x - 109 ≥ 109 + 0,5 x

c) 3 x - 5 < x < 9 x + 2 d) 1 ≤ 2 x + 1 ≤ 4

e) ( 4 x + 3 ) / ( x - 2 ) > 10 f) ( x - 6 ) / ( x + 6 ) < -1

g) √ 19 - x > 2

7.- Hallar los valores de x que satisfacen las ecuaciones:

a) | x - 1 | = 4 b) |( x - 2 ) / ( x - 4 )| = 2

c) | x + 2 | = |2 - 4x | d) | x - 8 | < 1

e) | x - 1/6 | ≤ 0 f) | 7 x - 4 | < 8

8.- Probar las desigualdades:

a) | x + y | ≤ |x| - |y| b) |x| - |y| ≤ | x - y |

9.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2 x2 - 16 x + 30 = 0 b) x4 - 8 x2 + 16 = 0

c) x / ( x + 2 ) - ( x + 2 ) / ( x - 2 ) + x2 / ( x2 - 4 ) = 0

10.- El producto de dos números es -3 y su suma es -2. Cuáles son esos números?

11.- Hallar dos números enteros consecutivos cuyo producto valga 182.

12.- Calcular los siguientes valores con 4 cifras decimales:

a) sen 32º b) cos ( / 7) c) tg 2 d) sec (73,2)

TRABAJO PRÁCTICO Nº2

FUNCIONES

1.- a) Las dimensiones de un rectángulo son 10 y L. Probar que el área A es

función de L y establecer su dominio.

b) El volumen de un cilindro es de 100 cm3. Probar que su altura h es

función del radio r de la base y calcular el dominio de dicha función.

2.- Indicar el dominio de las siguientes funciones y graficarlas:

a) f (n) = 1 / (n - 5) ; n ε n b) f (x) = 13 x - 7 

c) f (x) = x - [x]

d)

e) f (x) = [ 1 - x ]

3.- Sea f (x) = 3x - 2. Graficar f y cada una de las siguientes funciones:

f 1 (x) = f (x) + 2 f 2 (x) = f (x + 2)

f 3 (x) = 2 f (x) f 4 (x) = f (-4)

f 5 (x) = - f (x) f 6 (x) = │ f (x) │

4.- Sean a, b > 0. Probar las siguientes propiedades:

a) log a (x.y) = log a x + log a y x, y > 0

b) loga (1/x) = - log a x x >0

c) log a (x )4 = 4 log a x x > 0

d) log a (x) = log b (x) / log b (a) x > 0

5.- A partir de las propiedades:

sen ( x  y ) = sen x . cos y  sen y . cos x

cos ( x  y ) = cos x . cos y + sen x . sen y

deducir las siguientes fórmulas:

a) sen 2 x + cos 2 x = 1 b) sen (-x) = - sen x

c) cos (-x) = cos x d) sen 2x = 2 sen x . cos x

e) cos 2x = cos 2 x - sen 2 x

f) sen x - sen y = 2 cos [ (x + y) / 2] . sen [ ( x - y ) / 2]

g) cos x - cos y = - sen [ ( x + y ) / 2 ] . sen [ ( x - y ) / 2 ]

6.- Dadas las funciones:

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