Numeros Reales

Unidad 1.- Números reales:

1.1…………………………………………………………..……....Recta numérica.

1.2……………………………………………………..……….Los números reales.

1.3……………………………………….….Propiedades de los números reales.

1.3.1.………………………………......………………………………...Tricotomía.

1.3.2…………………………………………………………………..Transitividad.

1.3.3……………..…………………………………………………………Densidad.

1.3.4…...………………………………………………………Axioma del supremo.

1.4…………………..gIntervalos y su representación mediante desigualdades.

1.5...Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita.

1.6…………………………………………….Valor absoluto y sus propiedades.

1.7…………………Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

1.8……………………………………………………………………..Referencias.

El sistema de los números reales es uno de los pilares en el desarrollo de las matemáticas a cualquier nivel, existen muchos resultados que muestran su importancia histórica.

1.1-Recta numérica.

Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos sobre una línea recta conocida como le recta real. Sobre esta recta se fijan dos puntos representados por 0 y 1.

Estos dos puntos permiten construir todos los demás, ya que para representar cualquier numero real X se toma un segmento de longitud X a la derecha del cero si X es positivo o a la izquierda si X es negativo.

El extremo de este segmento es el punto correspondiente al numero X. El cero se conoce como origen de la recta real y el 1 como la escala. Por lo anterior, sobre la recta real se representan los reales positivos, el cero y los reales negativos, se verifica una regla de correspondencia: de cada punto de la recta corresponde a un número real y cada número real lo podemos representar como un punto de esta recta.

Los números definidos a la del cero se conocen como reales positivos y el conjunto de todo ellos se representan por R+. de manera análoga, se define R- como el conjunto de todos los reales a la izquierda del cero.

(purcell, edwin j,; varberg, dale; ringdong, steven e.,2007)

1.2-Los números reales.

Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos sobre una línea recta conocida como recta real. Sobre esta recta se fijan dos puntos representados por 0 y 1. Estos dos puntos permiten construir todos los demás, ya que para representar cualquier número real x se toma un segmento de longitud x a la derecha del cero si x es positivo o a la izquierda si x es negativo.

El extremo de este segmento es el punto correspondiente al número x. El cero se conoce como origen de la recta real y el 1 como la escala. Por lo anterior, sobre la recta se representan los reales positivos, el cero y los reales negativos, y se verifica una regla de correspondencia: cada punto de la recta corresponde a un número real y cada real lo podemos representar como un punto en esta recta.

Los números definidos a la derecha del cero se conocen como reales positivos y el conjunto de ellos se representa con R+. De manera análoga como el número de todos los reales a la izquierda del cero.

Otra propiedad importante de los números reales es que entre dos números diferentes cualesquiera, sin importar cuán cercanos estén, siempre existe un número real y, en consecuencia, entre dos números reales cuales quiera diferentes, siempre existe una infinidad de números reales. A diferencia de Q y de I los reales no contienen huecos. En términos matemáticos se dice que el conjunto de los números reales es un conjunto denso.

Los números reales se clasifican en racionales e irracionales. Un número racional puede expresarse como un cociente a/b en donde a y b son enteros y b ≠ o. La suma, la diferencia y el producto de dos números reales son también números reales el cociente de dos número reales será también un número real siempre que el divisor sea diferente de cero.

El conjunto de dos números reales denotará por el símbolo R; los símbolos Q meros irracionales, respectivamente. En términos de la unión de dos conjuntos, se tiene que R = Q U H no tengan elementos en común se resume empleando la intersección de dos conjuntos: Q ∩ H =, en donde es el conjunto vacío.

El calculo esta basado en el sistema de los números reales y sus propiedades.

Los números reales son todos los números que pueden medir longitudes, junto con sus negativos y el cero.

Dentro de los números reales, están los números racionales e irracionales; los racionales comprenden a los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6,… que son los números mas usados. Al agregarle sus negativos y el cero obtenemos los números enteros.

Cuando medimos longitud, peso o voltaje, los enteros son inadecuados. Están separados muy lejos uno del otro para dar suficiente precisión. Esto nos lleva a considerar cocientes (razones) de enteros, números tales como 3/4, (-7)/8, 21/5, 19/(-2),16/2, y (-17)/1

Se incluyeron 16/2 y (-17)/1, aunque normalmente se escribirían como 8 y-17 ya que son iguales a aquéllos por el significado ordinario de la división. No incluimos 5/0 o (-9)/0 porque es imposible dar significado a estos símbolos. Pues la división entre 0 nunca esta permitida. Los números que pueden escribirse de la forma m/n, donde se, donde m y n son enteros con n ≠ 0 son llamados números racionales.

Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como fracción, esto los descubrieron los antiguos griegos en el siglo V a.C. Ellos demostraron que aunque la hipotenusa de un triangulo rectángulo con catetos de longitud 1 mide √2, no puede escribirse como un cociente de dos enteros. Por lo tanto √2 es un numero irracional así también lo son √3, √5, ∛7 , π, y una gran cantidad de números mas.

Números decimales periódicos y no periódicos; cualquier numero racional puede escribirse como decimal, ya que por definición siempre puede expresarse como el cociente de dos enteros; si dividimos el denominador entre el numerador, obtenemos un decimal.

(purcell, edwin j,; varberg, dale; ringdong, steven e.,2007)

1.3-Propiedades de los números reales.

Cuando se suman dos números, no importa el orden.

Cuando se multiplican dos números no importa el orden.

Cuando multiplicamos tres números no importa cuales dos se multiplican primero.

Cuando se multiplica un numero por una suma de dos números se obtiene el mismo resultado al multiplicar el primero por cada uno de los términos y luego sumar los resultados.

La propiedad distributiva se aplica siempre que multiplicamos un número por la suma.

Los números tienen una cualidad aun mas importante, que es aquella de medir cantidades físicas, longitudes, áreas, volúmenes, etc.

Las operaciones de calculo se sustentan con los números reales y sus propiedades, por lo tanto empezaremos por clasificarlos y conocerlos.

Primero recordemos algunas de las propiedades elementales de los números de igual naturaleza que los reales. Como se vera más adelante, estas propiedades se adecuan bien a determinadas clases de números y no a otros.

Propiedad asociativa de la suma y multiplicación:

a + (b + c) = (a + b) + c y a(b. c) = (a. b)c. Por ejemplo: 4+ (3 + 2) = (4 + 3) + 2.5. (8. 7) = (5. 8). 7

Propiedad de inverso para cada numero real a, existe un único numero real detonado por –a, tal que: a+ (-a) = 0, el numero –a es llamado inverso aditivo de a.

Para cada numero real a, existe el cero, existe un único numero real detonado por:

a^(-1), tal que: a x a^(-1) = 1 o a x 1/a= 1, el numero a^(-1) es llamado el inverso multiplicativo de a. Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac.

Un numero real puede ser positivo, negativo o cero e identificarse por clases de números. Los hay de dos clases: racionales e irracionales. Un numero racional es cualquier numero que se puede expresar como la razón de dos enteros como 1,2,1/2,-5,0,25,4,222,…, etc.; es decir, en la forma p/q, donde las literales p y q representan números enteros, de modo que q sea distinto de cero. De esta división se obtienen resultados enteros, fracciones o decimales. Por su lado la clase de los números irracionales son aquellos que no se pueden representar como la razón de dos enteros, de ahí su denominación.

(purcell, edwin j,; varberg, dale; ringdong, steven e.,2007)

1.3.1-Tricotomía.

Es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cua todos sus elementos son comparables entre sí. La ley tricotomía es equivalente a la relación de orden ≤ sea total, esto es que dados dos elementos x y y se tenga x ≤ y o y ≤ x

Las relaciones de los números naturales, enteros, racionales y reales cumplen con la ley de tricotomía. Sin embargo la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro.

Sí x y y son números exactamente

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