Ondas Armonicas De Una Dimension

Ondas Armónicas en una Dimensión.

Supongamos un foco generador de ondas armónicas (es decir, un foco que genera un movimiento vibratorio armónico, cuya dependencia temporal es periódica y viene expresada por un seno, un coseno o una combinación lineal de ambos) y unidimensionales (es decir, la perturbación se puede representar mediante una variable). Este es el caso de una cuerda tensa que en su posición de equilibrio se encuentra sobre el eje X de un sistema de coordenadas, o en general, una onda plana que se mueve en el espacio según la dirección del eje X.

Cada punto de la cuerda describirá un movimiento en la dirección del eje Y. En cada punto de la cuerda, la distancia y desde el punto de equilibrio y=0 a la posición de la cuerda será diferente. Por tanto, la descripción de la propagación de la perturbación (de la coordenada y) debe ser función de la posición de la cuerda en la que observamos dicha perturbación (de la coordenada x). Además, el valor de la perturbación dependerá del instante en que se observe, de modo que también dependerá del tiempo t. Por tanto, la función que describe completamente el movimiento ondulatorio (es decir, la propagación de la perturbación), se denomina función de ondas y tendrá como variable dependiente el valor de la perturbación (y) y como variables independientes el punto del espacio (x) y el instante (t) en el que se realiza la observación de esa perturbación. Es decir: y=f(x,t). El caso de la cuerda se puede trasladar al de un frente de ondas plano que se propaga por un espacio sin obstáculos, isótropo y homogéneo.

En el caso de que las ondas sean armónicas, no se producen fenómenos dispersivos, es decir, no varían de forma aunque el medio por el que se propagan sí sea dispersivo. Puede ocurrir que su amplitud se atenúe (disminuya) con la distancia, pero no varía su fase.

Deducción de la ecuación de ondas (en una dimensión)

Consideremos que la perturbación inicial se produce en un foco situado en x=0 y es un movimiento armónico simple. Además, esta perturbación se propaga con velocidad de fase constante v en la dirección del eje X en sentido positivo (no confundir velocidad de fase con velocidad de vibración).

En el foco se tiene que: y0 = A sen(ωt) con ω=2π/T

Como la onda viaja a velocidad v, tardará un tiempo x/v en recorrer la distancia x.

Referido al instante inicial en el que la onda comienza a propagarse (al tiempo t en el origen), el movimiento vibratorio en P estará retardado una cantidad x/v, es decir

t’=t-x/v

Por tanto, la ecuación del movimiento en el punto P situado a una distancia x del origen será:

yP = A sen (ωt’)= A sen (ω•(t-x/v))

si la perturbación se propagara en sentido contrario, entonces sería:

yP = Asen (ω(t+x/v))

Es decir, si la partícula en el foco está vibrando durante un tiempo t, en el punto P la partícula vibrará durante un tiempo t-x/v, puesto que la partícula situada en P comienza a moverse en un instante posterior. El valor x/v es precisamente el tiempo t’ que tarda la perturbación originada en O en llegar a P. El estado de la perturbación en P es el mismo que el del foco en el instante t-x/v.

La ecuación de la perturbación es:

y(x, t) = f(t-x/v)

para ondas armónicas:

y(x,t) = A sen (ω•(t-x/v))



Definiciones:

Longitud de onda λ es la distancia, medida en la dirección de propagación de la onda, entre dos puntos consecutivos que presentan el mismo estado de perturbación. También

...