Oscilador Armonico

INTRODUCCIÓN

Para comenzar el estudio tenemos que tener claro algunos conceptos, para ellos vamos a comenzar definiendo algunos términos de forma precisa y así poder llegar todos a una misma conclusión. El primer término que vamos a definir es elasticidad. Todos tenemos claro ejemplos de objetos elásticos: gomas, pelotas, muelles, etc. son objetos elásticos pero ¿qué es la elasticidad?.

Pues bien, en Física la elasticidad es una propiedad inherente a un objeto o material que hace que dicho objeto vuelva a su forma original después de una deformación. Un muelle es un ejemplo de un objeto elástico que una vez que lo estiramos vuelve a su posición original. La elasticidad, como veremos, es una condición necesaria para el movimiento periódico.

La fuerza con la que un objeto elástico vuelve a su forma original depende de la magnitud con la que se haya deformado siguiendo lo que en Física se conoce como Ley de Hooke. En el caso del muelle, la fuerza del muelle depende de dos cosas: la distancia que lo hayamos estirado y un valor constante, que depende de cada muelle, que se denomina constante elástica. Es decir, cuanto mayor sea la distancia en la que estiramos el muelle, mayor fuerza ejerce (en sentido contrario al que hemos estirado).

Imaginemos ahora que fijamos un muelle al techo y que a ese muelle le colgamos un peso. El muelle se estirará una determinada distancia hasta que la fuerza que ejerce el muelle equilibra el peso del cuerpo que le hemos colgado. El muelle se estira una determinada distancia y se queda en equilibrio.

¿Qué ocurre si, una vez que el muelle está en equilibrio, estiramos del peso una determinada distancia hacia el suelo y luego soltamos el peso? Lo que ocurre es que el muelle ejerce una fuerza hacia arriba que hace que el peso suba, pase el punto de equilibrio siga subiendo un poco (la misma distancia que hemos estirado hacia abajo) y luego vuelva a descender para luego volver a subir y así de forma constante en lo que se conoce como un movimiento periódico porque se repite al cabo de un determinado período. Si el muelle fuera ideal, no hubiera rozamientos y nada molestara ese movimiento, el peso seguiría subiendo y bajando todo el tiempo y la distancia que recorre el peso sería la misma a ambos lados del punto de equilibrio (esta distancia se conoce como amplitud). Lo que acabamos de construir es un oscilador armónico que oscila con una determinada frecuencia.

Ahora surge otro concepto relacionado con el oscilador armónico y es el de frecuencia. ¿Qué es la frecuencia?. Si volvemos al ejemplo del muelle vemos que el tiempo que tarda el peso en subir desde el punto más bajo al punto más alto y volver al punto más bajo es siempre el mismo. Este tiempo se conoce como período, el número de períodos que nuestro peso cubre en una unidad de tiempo es lo que se conoce como frecuencia (cuando esa unidad de tiempo es el segundo la unidad de frecuencia es el Herzio). La frecuencia es, por lo tanto, una medida de la “velocidad” de oscilación de nuestro oscilador armónico y, en el caso del muelle, depende únicamente de la constante de elasticidad del muelle y del peso colgado.

TRATAMIENTO CLÁSICO

Después de esta introducción sin matemáticas del movimiento armónico simple y a los osciladores armónicos. En esta segunda parte vamos a entrar un poco más en detalle en la explicación clásica del movimiento armónico simple. En principio, para seguir esta explicación se requieren unos conocimientos mínimos de álgebra elemental.

Volviendo al ejemplo del muelle pensemos en una situación como la representada en la figura siguiente, en la que tenemos un objeto de masa m que se desliza sin rozamiento sobre un plano horizontal y que está unido a un muelle de constante elástica k y estiramos el muelle una distancia x.

La Segunda ley de Newton nos dice que la fuerza es igual a la masa por la aceleración:

La aceleración es, en el caso de un movimiento rectilíneo, la segunda derivada de la distancia con respecto al tiempo y se expresa de la siguiente forma:

substituyendo en la fórmula anterior, nos queda:

Por otra parte, la Ley de Hooke para un muelle elástico nos dice que la fuerza que ejerce un muelle es igual a la constante elástica del mismo multiplicada por la distancia que se ha estirado o encogido el muelle (como la fuerza se ejerce en dirección contraria a la distancia, se pone signo negativo):

Ambas fuerzas son iguales, por lo tanto:

Reorganizando los términos y dividiendo por m nos queda:

Si ahora nos inventamos una constante omega (ω) que elevada al cuadrado sea:

La ecuación anterior nos quedaría:

Esta ecuación es una ecuación diferencial con soluciones conocidas que son funciones seno o coseno de omega (ω) y el tiempo. Las ecuaciones diferenciales son complejas, la solución de esta ecuación para la posición de la masa es:

En la ecuación anterior, x es la posición de la masa con respecto a la posición de equilibrio, A es la amplitud del movimiento (el máximo desplazamiento que alcanza la masa) y el término ωt + φ es lo que se conoce como fase, siendo φ la fase inicial. Si representamos el desplazamiento (x) frente al tiempo (t) obtendríamos una gráfica parecida a la siguiente.

¿Qué es ω?. ω antes lo habíamos definido como:

o lo que es lo mismo

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