PRÁCTICA 2: MÉTODO DE CUADRADOS MÍNIMOS.

AGUILAR GARCÍA OMAR
GÓMEZ SERRRANO LESLY PAULINA.

PRÁCTICA 2: MÉTODO DE CUADRADOS MÍNIMOS.

Introducción

En esta práctica vamos a calcular la densidad de un sólido irregular. Si el sólido es irregular, no puedes determinar su volumen utilizando fórmulas geométricas. En ese caso, se utiliza el método de inmersión, puesto que con el desplazamiento del líquido podemos saber el volumen del objeto,  también pesaremos su masa en una balanza dial-o-gram para tener así las propiedades que definen la densidad.

  ,  la relación de su masa m con respecto a su volumen V.[pic 1]

Estos datos serán utilizados para realizar una gráfica y posteriormente una regresión lineal. La grafica debe tener una tendencia lineal, creciente y para que sea así debemos asegurarnos de tener volúmenes y masa aditivos, también necesitamos aplicar el método de cuadrados mínimos que nos permite adaptar una línea recta optima a una muestra de datos u observaciones tomadas y denotadas por la variable “X” y “Y”, es decir se deben encontrarlos valores de los parámetros que minimizan la suma de los errores al cuadrado.

Consideramos un conjunto de observaciones  el cual se desea ajustar una relación lineal: [pic 2][pic 3]

Suponemos que los valores de x son precisos, que toda la incertidumbre está contenida en los valores de y, y que de las ponderaciones de los valores de y son iguales. Deseamos minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias siguientes:  [pic 4]

Por lo tanto [pic 5]

Si hay n pares de observaciones, la suma es:

[pic 6]

La condición para la mejor elección de m y b es que , sea un mínimo. Necesitamos, entonces, que:[pic 7]

       y         [pic 8][pic 9]

La primera condición da: [pic 10]

Y la segunda: [pic 11]

La resolución del sistema de ecuaciones simultáneas para m y b resulta.

 [pic 12]

 [pic 13]

Para calcular la ordenada al origen y su incertidumbre:

[pic 14]

[pic 15]

La densidad de la sustancia que vamos a calcular es la del disulfuro de hierro (II) (pirita). Debido a la gran cantidad de azufre se utiliza principalmente para la producción de ácido sulfúrico y caparrosa (sulfato ferroso). La pirita puede tallarse como piedra preciosa y se vende con el nombre de su poliformo, marcasita.

El nombre de pirita deriva de una palabra que significa fuego, en su alusión a que al ser golpeada con el eslabón saltan chispas.

Con este método es muy útil porque podemos calcular la densidad de cierta sustancia y  asegurarnos de qué material está hecho, puesto que en la naturaleza podemos encontrar infinidad de sustancias con características muy parecidas.

Diseño experimental.

Tomamos piedritas de pirita y las pesamos en la balanza dial-o-gram y conforme las vamos pesando, las colocamos dentro de una bureta de 25 mL que contiene agua inicialmente hasta los 18 mL, al ir agregando las piedritas de pirita, el volumen del agua en la bureta va a ir subiendo (debemos de anotar este desplazamiento de volumen porque este será el volumen que tendrá la piedra o piedras de pirita).

Haremos una gráfica en la cual pondremos al volumen en el eje de las ordenadas y a la masa en el eje de las abscisas, ya que el volumen es el que depende de la masa, por lo que el inverso de la pendiente va a ser igual a la densidad [pic 16]

La incertidumbre entonces será:

 ;      [pic 17][pic 18]

Necesitamos al menos 25 datos de la masa y el volumen correspondiente de cada trozo(s) de pirita.

[pic 19]Balanza dial-o-gram.

• Marca: Ohaus
• Modelo: 310g
• Resolución: 0.01g[pic 20]

Bureta[pic 21]

• Marca: Kimax
• Modelo: 25 mL
• Resolución:  0.05 mL[pic 22]

La resolución de la balanza dial-o-gram es R=U por el hecho de que es un aparato analógico con una escala auxiliar, en cambio la resolución de la bureta es U= , debido a que es un instrumento analógico sencillo [pic 23]

Datos experimentales.

Tabla 1: Masa (g)

Tabla 2: Volumen (mL) (Volumen inicial del agua en la bureta: 18 mL)

Gráfica 1.  Densidad

[pic 30]

Tratamiento de datos.

Para calcular m y su incertidumbre: 0.21   0.04 [pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

0.042428124 [pic 36][pic 37]

Calcular b y su incertidumbre: - 0.10 mL  3.7 x  mL[pic 38][pic 39]

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