Pasos para resolver un sistema de ecuaciones, utilizando el Método de Gauss.

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones, utilizando el Método de Gauss.

1. Cuando el primer renglón de la matriz aumentada tiene un cero en la entrada a11, se intercambia con otro renglón que en su primera entrada tenga a un valor diferente de cero.
2. Para que los elementos de la primera columna y a partir del segundo renglón se conviertan en cero, se suman múltiplos del primer renglón.
3. Cuando el elemento a22 es diferente de cero, a22≠0, se procede como en el segundo paso, se suman los múltiplos del segundo renglón a los demás renglones, hasta hacer al sistema, una matriz diagonal superior, con unos en las entradas de la diagonal.
4. Cuando a22=0  y ai2,  para i2, se intercambia el segundo renglón con el iésimo renglón y se procede como en el punto tercero.[pic 1]
5. En el caso de ai2=0 para i=2,3,…,m; se toma en consideración a la entrada a23 y se procede como en los pasos tres y cuatro.
6. Repitiendo el procedimiento, se obtiene una matriz escalonada de un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son las del sistema original.

Utilizando el método de Gauss resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

x1−x2+4x3 = 7

4x1+2x2−2x3 = 10

2x1+3x2+x3 = 23

2x1+3x2+x3 = 4

4x1+2x2−2x3 = 0

x1−3x2−3x3 = 3

2x1−6x2+10x3 = 1

−4x1−3x2+20x3 = 1

10x1−9x2−15x3 =−1

Un sistema de ecuaciones no tiene solución, cuando el último elemento de un renglón no es cero.

El sistema tiene una única solución, cuando el elemento pivote de todo renglón no nulo, es el último elemento y hay tantas incógnitas como renglones no nulos.

El sistema tiene múltiples soluciones cuando el elemento pivote de todo renglón no nulo, no es el último y hay  menos incógnitas que renglones no nulos.

Transformación de una matriz a Matriz inversa; esta matriz se utiliza para el método Gauss Jordan, primero se transforma una matriz cuadrada en una matriz identidad ahora si B  es la matriz (bij) se tiene que AB=I si se considera a la matriz aumentada (A|I) al aplicar operaciones para transformar A en I se obtiene ( I|A-1)  Ejemplo:   Hallar la inversa de la matriz A por medio del método Gauss Jordan.

[pic 2]

La matriz aumentada está dada por

[pic 3]

Multiplicando por -3 el primer renglón y sumándolo al segundo renglón se obtiene:

[pic 4]

Repitiendo el proceso se obtiene

[pic 5]

Comprueba este resultado.

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