Pauta Examen primer semestre 2021, completa
Enviado por vale00000000 • 14 de Julio de 2021 • Exámen • 1.024 Palabras (5 Páginas) • 101 Visitas
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer semestre 2021
EXAMEN - MAT1610
1. ¿Cualés son las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene su base sobre el eje x y
cuyos otros dos vértices pertenecen a la parábola y = 8 − x
2
, de forma que quede encerrado
por el eje X y la parabóla?
Solución:
Observe que la parábola descrita es simétrica respecto al eje Y por lo que si un vértice es (a, b)
el otro debe ser (−a, b) tal como muestra la figura.
por lo que el área, en función de x, está dada por:
A(x) = 2x(8 − x
2
) con x ∈ (0,
√
8)Para buscar el máximo observamos que
A
′
(x) = 16 − 6x
2
por lo tanto tenemos que A′
(x) = 0 si y sólo si x =
√
8
3
, además en torno a x =
√
8
3
el signo
de A′
(x) cambia de + a - por lo que en x =
√
8
3
se alcanza el máximo de la función.
De lo anterior tenemos que las dimensiones del rectángulo de área máxima son 2
√
8
3
y
16
3
.
Distribución de puntaje:
• (1 punto) por plantear la función de área.
• (1 punto) por justificar (puede ser con dibujo) la función de área.
• (1 punto) por determinar la derivada de la función área.
• (1 punto) por determinar puntos críticos de la función.
• (1 punto) por determinar que el punto crítico corresponde al punto donde se alcanza el
máximo.
• (1 punto) por deetrminar las dimensiones del rectángulo.2. Sean a > 0, b > 0 y f la función definida por:
f(x) = ∫ b
a
t
x
dt.
Calcule f(−1) y demuestre que f es continua en x = −1.
Solución:
Observe que de la definición tenemos que
f(−1) = ∫ b
a
t−1dt = ln(x)|
b
a = ln(b) − ln(a) = ln (
b
a
)
.
Por otra parte tenemos que si x ̸= −1,
∫ b
a
t
x
dt =
(
t
x+1
x + 1)
|
b
a =
b
x+1 − a
x+1
x + 1
por lo que
limx→−1
f(x) = limx→−1
b
x+1 − a
x+1
x + 1
.
Observamos que el último de estos límites es de la forma indeterminada 0/0 por lo que podemos
aplicar L’Hôpital obteniendo que
limx→−1
f(x) = limx→−1
b
x+1 − a
x+1
x + 1
= limx→−1
ln(b)b
x+1 − ln(a)a
x+1
1
= ln(b) − ln(a)
= ln (
b
a
)
.
Por lo tanto, como limx→−1
f(x) = f(−1) tenemos que f es continua en x = −1.
Distribución de puntaje:
• (1 punto ) por determinar f(−1).
• (1 punto) por evidenciar que que debe mostrar que limx→−1
f(x) = f(−1).
• (1 punto) por determinar la fórmula de f(x) para x ̸= −1
• (1 punto) por justificar el uso L’Hôpital.
• (1 punto) por determinar el valor del límite.
...