Pendulo Simple

PENDULO SIMPLE

1. Objetivos

 Estudiar el movimiento de un péndulo simple.

 Introducir el concepto de oscilaciones, movimiento armónico simple y sus aplicaciones a situaciones reales.

 Comprobar experimentalmente la relación del periodo de un péndulo con la longitud, la masa y la amplitud.

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 Determinar el valor de la aceleración de la gravedad de Bucaramanga y el correspondiente margen de error.

2. Marco Teórico

Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa no estirable. Al separar la masa de su posición de equilibrio (vertical), oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico:

El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:

La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:

La fuerza restauradora F se debe a la gravedad; la tensión T solo actúa para hacer que la masa puntual describa un arco. La fuerza restauradora es proporcional no a θ sino a Sen θ, así que el movimiento no es armónico simple. Sin embargo, si θ es pequeño, Sen θ es casi igual a θ en radianes.

La fuerza restauradora para un péndulo simple, F=-mgSenθ se puede aproximar con F=-mgθ, para valores pequeños de θ. Así, si los ángulos son pequeños, la fuerza restauradora es aproximadamente proporcional a θ, y las oscilaciones son armónicas simples.

M.A.S.

Uno de los movimientos más importantes, de los observados en la naturaleza, es el movimiento oscilatorio o vibratorio. Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente respecto a una posición de equilibrio.

De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple (MAS), debido a que además de ser el de más sencilla descripción matemática, es una aproximación muy buena de muchas oscilaciones presentes en la naturaleza.

Podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo:

Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, que vemos a continuación:

F=-m.ω2.X,con la ecuación obtenida anteriormente F=-m.g.x/ℓ, vemos que la pulsación es: ω2=g/ℓ, y teniendo en cuenta que ω= 2∏/T donde T es el período: Tiempo utilizado en realizar una oscilación completa, llegamos a:

T= 2∏/ω = 1/ƒ = T= 2∏√ ℓ/g (Pénd. Simple, Amplit. Pequeña)

Valor de la Aceleración debida a la Gravedad

El valor de la aceleración de la gravedad depende de la ubicación geográfica y de la altura sobre el nivel del mar. Hay también pequeños efectos debido a la topografía, que afectan la segunda cifra decimal de g. Existe una formula (internacional gravity formula) que permite calcular un valor de g mas exacto que el valor que se obtiene en el presente experimento:

g =ﻻ-δ

donde ﻻ depende solo de la latitud y la longitud, y δ es un término dependiente de la altitud respecto al nivel del mar:

ﻻ = 9.780455[1+0.00530157 sen2 (lat) – 0.00000585 sen2 (2lat) + 0.00000640 cos2 (lat) cos 2(lon + 18°)] m/s2

δ = [0.00000030855+0.0000000022 cos (2lat)] lat + 0.00000072 (alt/1000)2

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