Pendulo Simple

ÍNDICE

Pág.

Introducción ………………………………………………………….. 01

Objetivos …………………………………………………………. 02

Marco teórico…………………………………………………….,…… 03 - 07

Materiales y equipos ………………………………………………… 08

Procedimiento experimental ………………………………………... 09

Tabla de datos ……………………………………………………. 10 – 12

Tabla de resultados …….…………………………………………… 13 - 16

Discusión de resultados ………………………………………………. 17

Conclusión ……………………………………………………..... 18

Bibliografía ……………………………………………………… 19

Anexos ……………………………………………………….. 20

INTRODUCCIÓN

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

Se puede ver en la vida diaria en muchos aspectos, un ejemplo de ello sería, un metrónomo o también podríamos hablar de una plomada (que se utiliza para medir profundidad). Estos ejemplos prácticos pueden simular o modelar como un péndulo simple.

El objetivo de este experimento es estudiar el comportamiento de un péndulo simple ante la variación de su largo, masa y ángulo. Para ello se miden el periodo (T) en distintas ocasiones. Esto se realiza modificando dichos parámetros por separados, es decir, se realiza una medición donde se modifica el largo de la cuerda, otra donde se varía la masa y otra donde varía el ángulo. Con los datos obtenidos, se realiza un análisis grafico.

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OBJETIVOS

Estudiar el comportamiento del periodo en función:

A) La longitud del péndulo.

b) La masa de oscilación.

c) El ángulo de oscilación.

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MARCO TEÓRICO

Péndulo simple

Un péndulo simple es un sistema mecánico, constituido por una masa puntual, suspendida de un hilo inextensible y sin peso. Cuando se separa hacia un lado de su posición de equilibrio y se le suelta, el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad. El movimiento es periódico y oscilatorio. La distancia del péndulo se describe mediante su distancia angular con respecto a la vertical, como se aprecia en la figura:

Péndulo simple. Esquema de fuerzas.

Amplitud: Se define como la máxima distancia que existe entre la posición de equilibrio y la máxima altura.

Periodo: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión:

(T (tiempo empleado))/(Nº de oscilaciones)

Frecuencia: Se define como el número de oscilaciones que se generan en un segundo. Para determinar la frecuencia se utiliza la siguiente ecuación:

(Nº de oscilaciones)/(T (tiempo empleado))

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Ciclo: Se define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando el cuerpo parte de una posición y retorna al mismo punto.

Oscilación: Se define como el movimiento que se realiza siempre al mismo punto fijo.

Método de Lagrange

El lagrangiano del sistema es

Donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

Y obtenemos la ecuación del movimiento es

De modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

Método de Newton

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.

La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

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siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

Siendo la aceleración angular, de modo que la ecuación diferencial del movimiento es:

Esta ecuación diferencial no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Leyes del Péndulo

1) El tiempo de oscilación no depende de la masa del cuerpo suspendido en el extremo del hilo.

2) Si la amplitud es pequeña, el tiempo de oscilación no depende de ella.

3) Para péndulos de longitudes distintas, la razón entre los tiempos de oscilación es igual que la razón entre las raíces cuadradas de las longitudes

T/T'= √l/√(l')

4) Recordando que la gravedad varía según los lugares de la Tierra, para un mismo péndulo en lugares distintos, se muestra que la razón entre los tiempos de oscilación es igual que la inversa de la razón entre las raíces cuadradas de los valores de la gravedad.

T/T'= √g/√g // t= √(l/g) (Tiempo) // T=2π√(l/g) (Periodo)

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Instrumento gravimétrico

El péndulo simple se utilizó en las primeras determinaciones precisas de la aceleración producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de las oscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad. Podemos expresar g en función de T y de :

Procedimientos para medir esta aceleración.

Cinemática

Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.

Oscilaciones

Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.

De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.

Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:

P2/(42) en el eje vertical y

La longitud del péndulo l en el eje horizontal.

La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.

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Aplicaciones del Péndulo

El hecho de que las oscilaciones de un péndulo —sea simple o compuesto— tengan todas la misma duración y que pueda ser medidas con gran precisión, da lugar a diversas aplicaciones prácticas, algunas de las cuales se explican a continuación.

-Medición de tiempos

Debido a la igualdad de duración de todas las oscilaciones, el péndulo es de gran aplicación en la construcción de relojes, que son mecanismos destinados a contar las oscilaciones de un péndulo, traduciendo después el resultado de este recuento a segundos, minutos y horas.

-Determinación del valor de la aceleración de la gravedad

Como ya se ha estudiado previamente, el valor “g” no es constante sino que sufre variaciones, según el lugar de la Tierra en el que se considere.

Uno de los métodos más adecuados para determinar el valor de la aceleración de la gravedad (g), en un determinado lugar, consiste en poner en movimiento un péndulo simple de longitud conocida, determinando con la mayor exactitud posible su periodo de oscilación.

En efecto, si en la fórmula del periodo del péndulo simple despejamos g:

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