¿Por qué estudiar Trigonometría?

1.¿Por qué estudiar Trigonometría?

La importancia de estudiar la trigonometría estriba en la utilidad que tiene para el estudio de otros temas matemáticos, así como para el estudio y comprensión de los conceptos en el campo de otras ciencias, por ejemplo la física.

Tomando en cuenta, esencialmente, las necesidades de los estudiantes del Colegio, en particular de aquellos que están cursando las materias de física del nuevo plan de estudios, asignaturas en las que se abordan temas sobre vectores, movimiento de proyectil y estática, por solo nombrar tres, para éstos, así como otros tópicos, se requiere que los alumnos conozcan y empleen adecuadamente conceptos de trigonometría.

2. Definición de Trigonometría

De acuerdo con el origen de las palabras, el término trigonometría significa medida de los triángulos, no obstante para propósitos de este material, definiremos la trigonometría como una rama de las matemáticas que estudia las relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo.

3. El concepto de ángulo

El ángulo es la abertura comprendida entre la posición inicial y la posición final de una recta que ha girado alrededor de uno de sus puntos, permaneciendo siempre en el mismo plano.[pic 1]

La abertura que señalaremos con la flecha ( ↖ ), es el ángulo comprendido entre la recta fija OA y la recta móvil OB, el punto fijo O es el vértice del ángulo.

3.1 Notación

Existen diferentes maneras de representar o denotar los ángulos, aquí adoptaremos el uso de las letras minúsculas del alfabeto griego: α, β, ...θ. En la figura siguiente mostramos su empleo.

[pic 2][pic 3][pic 4]

3.2 Unidades angulares

La medida angular se puede expresar en los sistemas sexagesimal y en el cíclico. En el sistema sexagesimal, la unidad es el grado ( ° ), y en el sistema cíclico, la unidad es radián ( rad ).

3.3 El grado

Tomemos una circunferencia y dividamos su longitud en 360 partes iguales; ahora tracemos dos radios que pasen por dos divisiones consecutivas, a la abertura comprendida entre ellos se les denomina un grado, como una consecuencia de esto podemos implicar que en una circunferencia completa se tiene 360°.

[pic 5][pic 6]

Además, el grado se divide en 60 minutos ( ′ ); 1° = 60′ y el minuto en 60 segundos ( ″ ); 1′ = 60″.

3.4 El radián

El radián es el ángulo central de una circunferencia cualquiera, cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a la longitud del radio.

[pic 7][pic 8]

La longitud o el perímetro de una circunferencia es igual a 2πr, así que el radio r cabe 2π veces en la longitud de la circunferencia, de acuerdo con está relación y con la definición de un radián, obtenemos que en una circunferencia completa se tienen 2π rad.

3.5 Conversión de unidades angulares

De acuerdo con lo anterior tenemos que en una circunferencia completa hay 360° o 2 π rad, así que podemos establecer que       360° = 2π rad.

Si 360° = 2 π rad   • 180 ° = π rad

Si 180° =    π rad   •   90 ° = π rad = π/2 rad

Si 180° =    π rad   •   60 ° = π rad = π/3 rad

Si   90° =   π rad   •   45 ° = π rad = π/4 rad

Si   90° =   π rad   •   30 ° = π rad = π/6 rad

                                                              π

Si 360° = 2 π rad  • 1° = -------- rad = 0.0174533 rad.

                                                            180

3.6 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Expresar en radianes cada una de los siguientes ángulos: a) 15°; b) 135°; c) 225°; d) 420°.

Cada uno de los anteriores ejercicios los vamos a resolver empleando lo que hemos expuesto; hay que destacar que existen otras formas, es decir, para este ejercicio usaremos desde propiedades sencillas de los números, la regla de tres simple, así como el empleo de la suma de fracciones.

                                                π

1. Tenemos que         1° = --------- rad, así que

                                              180

                                                                π

                                15 ( 1° ) =  15 ( ------- rad )

                                                              180

                          15π                 π

15° = --------- rad = -------- rad   ∴ 15° =π/12 rad.

1. 12

                                         π

b) Si 1° ____________ ------- rad

                                       180

     135°____________ X rad; multiplicando cruzado e igualando

( 1° ) ( X rad ) = ( 135° ) ( π/180 rad ), despajando resulta

        ( 135° ) ( π/ 180 rad )        135 π             3 π

X = ------------------------------- = ---------- rad = ------- rad  ∴ 135° = π rad.

                         1°                      180                4

c) Tenemos que 180° = π rad  y  45° = π/4 rad, así que:

                                         π        4π rad + π rad

225° = 180° + 45° = π + ----- = ----------------------   ∴ 225 = 5 π rad / 4.

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