Presentación de la unidad

Presentación de la unidad

En esta unidad se muestra el caso de cómo calcular áreas limitadas por dos funciones, y se presenta cómo estos métodos tienen mucho que ver con la unidad anterior, donde se analizó la suma de Riemann para integración de ciertas áreas.

De manera análoga se utiliza el concepto de sumas de Riemann para llegar a la integral definida, útil para calcular el área entre dos curvas de funciones, limitadas al intervalo [a,b].

Además, se presentan los métodos de integración para calcular volúmenes de sólidos, para lo cual es necesario revisar el concepto de volumen, que será de gran utilidad para tener la idea intuitiva de lo que es volumen. Para complementar lo anterior, se calculan volúmenes usando los métodos de sólido de revolución y el método de cálculo de volúmenes mediante cascarones esféricos.

Por otra parte, se explica lo que es un valor medio y el valor promedio de una función.

Propósitos

Al terminar la unidad contarás con las herramientas necesarias para:

Hallar áreas entre curvas o regiones, obtendrás la capacidad necesaria para calcular el volumen de sólidos mediante integración.

Calcular volúmenes mediante cascarones cilíndricos y obtendrás el conocimiento para aplicar la integración para encontrar el valor promedio de una función y valor medio de una función.

Analizar problemas modelo para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor promedio de una función mediante el uso de aproximaciones con base en definiciones, métodos y teoremas.

2.1. Área entre curvas

Para hallar el área delimitada entre dos funciones como se muestra en la figura, se usan los conocimientos adquiridos en las secciones previas. Se utiliza el concepto de sumas de Riemann para calcular áreas.

2.1.2. Área entre curvas mediante integración

Ahora se sabe que el área de la región S es una aproximación de rectángulos inscritos infinitesimalmente delgados o, dicho de otra manera, es el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos infinitamente delgados.

Este límite se expresa como:

Con un poco de imaginación, te podrás dar cuenta de que el límite de esta suma es la integral definida de f – g. Por lo tanto, el área A de la región limitada por las gráficas y = f(x), y=g(x), y las rectas verticales en x=a y x=b, considerando que f y g son continuas.

Además de que f≥g para cualquier valor de x en el intervalo [a, b] es:

Actividad 1. Área entre curvas

De acuerdo a lo revisado hasta el momento, realiza lo siguiente:

1. Dibuja en un esquema la región encerrada por las curvas dadas.

2. Decide si integrar con respecto a x o y.

3. Dibuja un rectángulo típico de aproximación, marca su altura y su ancho.

5. Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U2_A1_XXYZ.

6. Envía el archivo a tu Facilitador(a) mediante la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en los siguientes días.

*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.

2.2. Volúmenes

Posiblemente, alguna vez te has hecho preguntas como:

Todas las cosas y objetos que nos rodean, desde la más pequeña hasta la más grande que conozcas, tienen volumen.

¿Con qué formula calculo el volumen de una botella de refresco, de vino o incluso el de una olla de barro?

¿Cómo calculo el volumen de una figura irregular?

En esta sección, se dará respuesta a estas inquietudes. Encontrarás diferentes métodos de integración para calcular volúmenes de ciertos sólidos.

2.2.1. Volumen de un sólido

2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución

Los sólidos de revolución son comunes en ingeniería y en todo tipo de objetos de uso cotidiano. Ejemplos de estos son los embudos, ruedas, discos, píldoras, botellas y pistones, entre otros. Si una región plana se hace girar en torno a una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y a esta recta se le llama eje de revolución o eje de giro.

Si la sección transversal es un anillo o arandela, se necesita saber el radio interior y el radio exterior como se muestra en la siguiente figura.

Actividad 2. Sólidos de revolución

Con base en lo estudiado en el subtema anterior, realiza lo siguiente:

1. Calcula el volumen del sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje especificado.

2.

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