Problemas De Radiacion

Problema 1.

Dada la densidad de energía monocromática de la radiación de un cuerpo negro:

U_v=((8πhv^3)/c^3 )(1/(e^((hv/kt))-1))

Obtenga la densidad de energía monocromática en función de la LDO (longitud de onda).

U(λ)dλ=-U(λ)dv

U(λ)=-U(v)dv/dλ

Se sabe que dv/dλ= -c/λ^2

U(λ)=U(v)∙c/λ^2

v=c/λ

Sustituyendo en U(v)

U_λ=((8πh〖c/λ^3 〗^3)/c^3 )(1/(e^((hc/λkt) )-1))(c/λ^2 )

Simplificando

U_λ=(8πhc/λ^5 )(1/(e^((hc/λkt) )-1))

Problema 2.

a) Obtenga la densidad total de energía (U) de la REM emitida por un cuerpo negro en función de la temperatura (integre la expresión del problema 1).

b) Compare este resultado con la ley de Stefan-Boltzmann.

c) Si U=4/c σT^4 , Demuestre que h=〖((2π^5 k^4)/(15σc^2 ))〗^(1/3)

a)

Se integra la función

U_v=((8πhv^3)/c^3 )(1/(e^((hv/kt) )-1))

La integral queda:

8π/c^3 ∫_0^∞▒〖(hv^3)/(e^((hv/kt) )-1) dv〗

Cambio de variable

x= hv/kt de aquí v= xkt/h dx= h/kt dv de aquí dv=kt/h dx

Sustituyendo:

8π/c^3 ∫_0^∞▒〖(h〖(xkt/h)〗^3)/(e^((x) )-1)∙kt/h dx〗

Solución:

(8πk^4 t^4)/(c^3 h^3 ) ∫_0^∞▒〖x^3/(e^((x) )-1) dx〗

∫_0^∞▒〖x^3/(e^((x) )-1) dx〗= π^4/15

Por lo que U queda de la siguiente manera:

U= (8π^5 k^4 t^4)/(15c^3 h^3 )

b)

Ley de Stefan - Boltzmann es la siguiente:

U= σT^4 At, donde A es el área y t él tiempo

El resultado del inciso anterior es:

U=(8π^5 k^4 T^4)/(15h^3 c^3 )

Si igualamos nos queda lo siguiente:

σ= (8π^5 k^4)/(15h^3 c^3 At)

Por lo tanto podemos decir que el resultado anterior comparado con la ley de Stefan – Boltzmann es lo mismo.

c)

Sustituyendo U=4/c σT^4 en:

U=(8π^5 k^4 T^4)/(15h^3 c^3 )

Obtenemos lo siguiente:

4/c σT^4=(8π^5 k^4 T^4)/(15h^3 c^3 )

Despejando h:

h=(〖(8π^5 k^4 T^4 c)/(4σT^4 15c^3 ))〗^(1⁄3)

Simplificación:

h=(〖(2π^5 k^4)/(15σc^2 ))〗^(1⁄3)

Problema 3.

Escribir la forma asintótica de la ley de radiación de Planck (ec. del problema 1) para:

a) Frecuencias muy altas v→∞ (obtendrá la semi-empírica de Wien ). U_v=((8πhv^3)/c^3 )e (-hv)/KT

b) Frecuencias muy bajas v→0 (obtendrá la ley de Rayleigh – Jeans). U_v=((8πv^2)/c^3 )(KT)

a)

U_v=(8πhc/λ^5 )(1/(e^((hc/λkt) )-1))

U_v=(ε_0/(e^(ϵ_0/KT)-1))

U_v=((8πhv^3)/c^3 )e (-hv)/KT

b)

U_v=(8πhc/λ^5 )(1/(e^((hc/λkt) )-1))

U_v=((8πε_0

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