Progresiónes geometricas

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.

Es toda serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante que es la razón.

Notación.

El signo de progresión geométrica es y entre término y término se escribe:

Así, 5:10:20:40… es una progresión geométrica en la cual la razón es 2. En efecto, 5x2=10; 10x2=20; 20x2=20, etcétera.

Una progresión geométrica es creciente cuando la razón es, en valor absoluto, mayor que uno, y es decreciente cuando la razón es, en valor absoluto, menor que uno, o sea, cuando la razón es una fracción propia. Así:

1:4:16:64…

es una progresión geométrica creciente cuya razón es 4, y

2:1:1/2:1/4..

es una progresión geométrica decreciente cuya razón es ½.

P0eogresion geométrica finita es la que tiene un número limitado de términos o infinita la que tiene un número limitado de términos.

Así, 2:4:8:16 es una progresión finita porque consta de 4 términos, y 4:2:1:½…

Es una progresión infinita porque consta de un número ilimitado de términos.

Es toda progresión geométrica la razón se halla dividiendo un término cualquiera entre el anterior.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO.

Sea la progresión a:b:c:d:e: … :u

En que la u es el término enésimo y cuya razón es r.

En toda progresión geométrica, cada termino es igual al termino anterior multiplicado por la razón; luego;

b = ar

c = br = (ar) r = ar2 *

d = cr = (ar2) r = ar3

e = dr = (ar3) r = ar4…

Aquí vemos que un término cualquiera es igual al primero a multiplicado por la razón elevada a una potencia igual al número de términos que lo preceden.

Esta ley se cumple siempre: luego, como u es el ultimo n y le preceden n – 1 términos, tendremos: u = arn-1.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL PRIMER TÉRMINO Y DE LA RAZÓN.

Hemos hallado que u = arn-1.

Despejando a, se tiene: a = u/rn-1, que es la formula del primer termino en una progresión geométrica.

Para hallar la razón. Despejando rn-1 en (1) se tiene

rn-1=u/a y extrayendo la raíz n-1, queda r= n-a u/a.

que es la formula de la razón en una progresión geométrica.

En toda progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos.

Sea la progresión a : … m : … : p : … : u

Donde entre a y m hay n y términos y entre p y u también hay n términos.

Entonces, m y p son equidistantes de los extremos. Vamos a probar que

Mp = au

En efecto se tiene (472) que m = a ,rn+1

u = p, rn+1

dividiendo estas igualdades, tenemos: m/u = a/p :. Mp = au

que era lo que queríamos demostrar.

OBSERVACIÓN.

De acuerdo con la demostración anterior, si una progresión geométrica tiene un número impar de términos, el cuadrado del término medio equivale al producto de los extremos.

Así, en la progresión 3:6:12:24:48 tenemos 12² =144 y 3x48=144.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

Sea la progresión a:b:c:d:e: … u

cuya razón es r.

Designando por S la suma de todos sus términos, tendremos:

S = a + b + c + d +… + u (1)

Sr = ar + br + cr +dr + … + ur (2)

Restando (1) de (2), tenemos:

Sr = ar + br + cr + dr + … + ur

-S = -a – b - c - d … - u

Sr- S = ur – a

Al efectuar esta resta hay que tener presente que como cada término multiplicado por la razon de la siguiente, ar=b y esta b se anula

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