Propiedades de las base

BASES Y DIMENSIÓN

Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema

generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases.

1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).

2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).

3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella,

de manera única para cada vector.

Ejemplos de bases.

1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ

n:

e1 = (1,0,. . . ,0)

e2 = (0,1,. . . ,0)

........

en = (0,0,. . . ,1)

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.

- Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜn se puede expresar

como combinación lineal de ellos:

(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)

2. Otra base de ℜ3

distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.

- Son sistema generador de ℜ3

porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como

combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α, , β

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