Prueba de síndrome

6.4.7 Prueba de síndrome

Sea r = r1 r2, …, rn, un vector recibido (uno de 2 n-tuplas) resultante de la transmisión de U = u1, u2, ..., un. Por tanto, podemos describir r como:

[pic 1]

Donde e = e1, e2, ..., en es un vector de error o patrón de error introducido por el canal. Hay un total de 2n- 1 patrones de error potenciales distintos de cero en el espacio de 2n n-tuplas. El síndrome de r se define como:

[pic 2]

El síndrome es el resultado de una verificación de paridad realizada en r para determinar si r es un miembro válido del conjunto de palabras de código.

Es interesante notar las siguientes dos propiedades requeridas de la matriz de verificación de paridad.

l. Ninguna columna de H puede ser todo ceros, de lo contrario, un error en la posición de la palabra de código correspondiente no afectaría al síndrome y sería indetectable.

2. Todas las columnas de H deben ser únicas. Si dos puntos de H fueran idénticos, los errores en estas dos posiciones de palabras de código correspondientes sería indistinguible.

6.4.8 Corrección de errores

Hemos detectado un solo error y hemos demostrado que la prueba del síndrome se realizó en la palabra de código dañada, o en el patrón de error que la causó, produce el mismo síndrome. Esto debería ser una pista de que no solo podemos detectar el error, sino ya que existe una correspondencia uno a uno entre los patrones de error corregibles y síndromes, podemos corregir dichos patrones de error.

El algoritmo de decodificación requiere reemplazar un vector dañado (cualquier n-tupla excluyendo los de la primera fila) con una palabra de código válida de la parte superior de la columna que contiene el vector dañado.

Si el patrón de error no es un líder de clase lateral, entonces una decodificación errónea resultará.

6.4.8.1 El síndrome de Coset

El nombre coset es la abreviatura de "un conjunto de números que tienen una característica común".

El síndrome de cada la clase lateral es diferente de la de cualquier otra clase secundaria en el código; es el síndrome que es utilizado para estimar el patrón de error.

6.4.8.2 Decodificación de corrección de errores

El procedimiento para la decodificación de corrección de errores procede de la siguiente manera:

1. Calcule el síndrome de r usando S = rHt.

2. Localice el líder de clase lateral (patrón de error) ej, cuyo síndrome es igual a rHt.

3. Se supone que este patrón de error es el daño causado por el canal.

4. El vector recibido corregido, o palabra de código, se identifica como U = r + ej. Podemos digamos que recuperamos la palabra de código válida restando el identificado error; En aritmética módulo 2, la operación de resta es idéntica a la de adición.

6.4.8.3 Localización del patrón de error

También observe que después de agotar todos los patrones de error de 1 bit, queda alguna capacidad de corrección de errores, ya que todavía no hemos tenido en cuenta los sesenta y cuatro 6 tuplas.

Hay un líder de clase lateral no asignado; por lo tanto, queda la capacidad de corregir un patrón de error adicional. Tenemos la flexibilidad de elegir este patrón de error para ser cualquiera de las n-tuplas en la clase lateral restante.[pic 3]

6.4.8.4 Ejemplo de corrección de errores

Luego usamos la tabla de búsqueda de síndrome, desarrollada en la sección anterior, para encontrar el patrón de error correspondiente. Este error patrón es una estimación del error, y lo denotamos e.

Si el patrón de error estimado es el mismo que el patrón de error real, es decir, si e = e,

entonces el estimado u es igual a la palabra de código transmitida U. Por otro lado, si el error estimado es incorrecto, el decodificador estimará una palabra de código que no fue transmitido, y tenemos un error de decodificación indetectable.

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