REGLA DE LA CADENA

REGLA DE LA CADENA

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la regla

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si [pic 1]es diferenciable en [pic 2]y [pic 3] es una función diferenciable en[pic 4], entonces la función compuesta [pic 5]es diferenciable en [pic 6]y

[pic 7]

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

[pic 8]

Donde [pic 9]indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de la cadena

Sea

[pic 10]

Esto es entonces

[pic 11]

Aplicando la definición de derivada se tiene

[pic 12]

Donde queda

[pic 13]

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre [pic 14](esta demostración solo vale cuando [pic 15]es distinto de cero, por ejemplo si g(x) fuera constante no se cumple)

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]cqd

Ejemplos de aplicación

Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Ejemplo algebraico

Por ejemplo si [pic 19]es una función derivable de [pic 20]y si además [pic 21]es una función derivable de [pic 22]entonces [pic 23]es una función derivable con:

[pic 24]

O también

[pic 25]

Ejemplo 1

[pic 26]

[pic 27]

Y queremos calcular:

[pic 28]

Por un lado tenemos:

[pic 29]

Y

[pic 30]

Si:

[pic 31]

Entonces:

[pic 32]

Si definimos como función de función:

[pic 33]

[pic 34]

Resulta que:

[pic 35]

[pic 36]

Con el mismo resultado.

Ejemplo 2

Tenemos [pic 37]la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

...