Regla de la cadena para el caso de las funciones

2.3 Regla de la cadena

Recordemos la regla de la cadena para el caso de las funciones de en :

.

Para las funciones de varias variables hay 3 casos de la regla de la cadena:

A. REGLA DE LA CADENA (CASO 1). Si y ambas variables y depende de una tercera variable , y , entonces depende de y su derivada respecto a se determina como:

.

El siguiente diagrama es útil para recordar la fórmula anterior:

Ejemplo. Obtener si , y .

Solución. .

Ejemplo. Dos lados de un triángulo tienen longitudes y , y el ángulo entre ellos es . Si crece con una rapidez de , y lo hace a , mientras permanece constante, ¿a qué rapidez cambia el tercer lado? ¿Está creciendo o decreciendo?

Solución. La longitud del tercer lado se obtiene de la ley de los cosenos:

y como , entonces . Por el contexto del problema es claro que las variables y dependen del tiempo , por lo tanto depende del tiempo . Aplicando la regla de la cadena,

,

pero y cuando y , entonces

.

El tercer lado está creciendo a razón de .

Si ahora tenemos una función de tres variables y las variables dependen de : , y , entonces depende de y su derivada se obtiene como:

.

Ejemplo. Longitud , ancho y altura de una caja rectangular crecen a razón de , y , respectivamente. Determine la razón de cambio del volumen y de la diagonal cuando , y .

Solución. El volumen de la caja es y su diagonal es , las derivadas de ambas funciones respecto al tiempo son:

Puesto que , , y cuando , y , entonces

y

El volumen y la diagonal de la caja crecen a razón de y , respectivamente.

Ejemplo. Suponga que una ave vuela a lo largo de la curva helicoidal , , . El ave súbitamente se encuentra con un frente de aire de tal manera que la presión barométrica varía de un punto a otro como . (a) Determine la razón de cambio de la presión cuando . (b) Verifique el resultado de (a) por sustitución directa. (c) Cuál es el valor aproximado de la presión cuando .

Solución. Notemos que depende de las variables , y , pero a su vez éstas dependen de por lo que depende finalmente de .

(a) Aplicando la regla de la cadena,

Por lo tanto,

Es decir, cuando , la presión decrece a razón de .

(b) Sustituyendo en ,

Por lo tanto,

(c) Coma ya conocemos el valor de la derivada de en , podemos estimar el valor de la presión en mediante la linealización de alrededor del punto base como sigue:

Es decir, .

B. REGLA DE LA CADENA (CASO 2). Si y ambas variables y depende de otras dos variables y , y , entonces depende de y , , y sus derivadas parciales se determinan como:

.

Para recordar las fórmulas anteriores se recurre al siguiente diagrama:

Ejemplo. Si , y , obtener las derivadas parciales de .

Solución. Las variables intermedias son y , las variables independientes son y , mientras que la variable dependiente es . Como depende finalmente de y , entonces las derivadas parciales son:

.

B. REGLA DE LA CADENA (CASO GENERAL). Si y cada una de las depende de otras variables, para , entonces depende de las variables : y las derivadas parciales de se determinan como:

Para recordar las fórmulas anteriores se puede dibujar un diagrama similar al del caso 2. Por ejemplo, si , , , y , para obtener las derivadas parciales de nos guiamos con el siguiente

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