Relaciones matemáticas

[pic 1]

Relaciones

Trujillo Alvarado Carlos Eduardo

UAPT, Unidad Académica Profesional Tianguistenco

Ingeniería en Software

Matemáticas Discretas

Profesor José Francisco Mejía Carbajal

14 de noviembre de 2023

Son la relación de dos conjuntos ordenados. Una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y contradominio hace que a cada elemento del dominio le pertenezca a lo más uno del contradominio.

Relación binaria

Un conjunto X y un conjunto Y de otro conjunto R tendrá un subconjunto del producto cartesiano X*Y.

Si (x,y) € R se escribe xRy y se dice que x está relacionada con y.

Si X=Y, R se le llama relación binaria sobre x.

El conjunto {x€|(x,y)€R para alguna y€Y} se le llama dominio de R.

Concepto de relación

La relación R sobre X = (a,b,c,d) es:

R= [(a,a),(b,c),(c,b),(d,d]

Y su digráfica es:

                                                        [pic 2]

[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Propiedades de las relaciones

Reflexiva

Una relación R en un conjunto X se llama reflexiva si (x,x) € R para todo x € X.

La relación R sobre X = {1,2,3,4} definido por (x,y) € R si x=y, x, y € R es reflexiva porque cada elemento x € X, (x,x) € R

Por lo tanto: (1,1), (2,2), (3,3) y (4,4) están en R y su digráfica tiene un lazo.

Ahora, la relación R = {(a,a),(b,c),(c,b),(d,d)} sobre X = {a,b,c,d} no es reflexiva porque b € X pero (b,b) no pertenece a R.

Simétrica

Una relación R sobre un conjunto X es simétrica para toda X, y € X si (x,y) € R entonces (y,x) € R.

La relación R = {(a,b),(b,c),(c,b),(d,d)} sobre X = {a,b,c,d} es simétrica porque para toda x, y, si (x,y) € R entonces (y,x) € R.

No simétrica

Una relación R en un conjunto X se le llama no simétrica o asimétrica si para toda x,y€X si (x,y) € R y*y entonces (y,x) € R.

La relación R sobre X = {1,2,3,4} definida por (x,y) € R si x <= y, x, y € X es no simétrica.

Por ejemplo (2,3) € R pero (3,2) n. La digráfica tiene una arista dirigida de 2 a 3 pero no de 3 a 2.

Transitiva

Una relación R en un conjunto X se llama transitiva para toda x, y, z € X, si (x,y) y (y,z) € R entonces (x,z) € R.

La relación R sobre X = {1,2,3,4} definida por (x,y) € R si x <= y, x, y € X es transitiva porque para toda x,y,z si (x,y) y (y,z) € R entonces (x,z) € R.

Si x = y o y = z no se necesita de una verificación explicita de que la condición (x,y) y (y,z) € R porque la afirmación (x,z) € R se satisface de forma automática.

Orden parcial

Una relación en un conjunto X se le llama orden parcial si R es reflexiva, asimétrica y transitiva. Las relaciones resultan útiles para ordenar los elementos de un conjunto. Por ejemplo, la relación R definida en el conjunto de enteros pares (x,y) € R si x <= y ordena los enteros. Advierta que la relación R es reflexiva, asimétrica y transitiva. Este tipo de relación se le llama de orden parcial.

Definir las propiedades de las siguientes relaciones:

1. (x,y) € R si x = [pic 10]

No es reflexiva

Es asimétrica ya que y = x^2 no es posible

           No es transitiva y, por lo tanto, no es de orden parcial.

1. (x,y) € R si x > [pic 11]

No es reflexiva

No es simétrica

No es transitiva ni de orden parcial.

1. (x,y) € R si x >= y

Cumple la reflexividad pues todo número entero es mayor o igual a sí mismo.

Puede cumplir la simetría pues x>=y es lo mismo que y<=x, pero esto en algunos casos

Cumple transitividad ya que si x>=y entonces y>=z y por tanto x>=z.

...