RELACIÓN MATEMÁTICA

RELACIÓN MATEMÁTICA

Una relación R_{\ }^{\ }, de los conjuntos A_1, A_2, \ldots , A_n es un subconjunto del producto cartesiano

R\subseteq A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

R(a_1,a_2, \ldots ,a_n) \qquad \mbox{o bien} \qquad (a_1,a_2, \ldots ,a_n) \in R

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: A_1 = A_2 = \ldots = A_n en este caso se representa A \times A \times \ldots \times A como A^n \, , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

R\subseteq A^n

FUNCION

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π•r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...  −2 → +4,  −1 → +1,  ±0 → ±0,   

  +1 → +1,  +2 → +4,  +3 → +9,  ... 

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

 a → f(a),

Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

 k → k2, o sencillamente f(k) = k2;

g: V → A

 p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función

puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

NOTACIÓN. NOMENCLATURA

La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:

\begin{array}{rrcl}

f : & A & \to & B \\

& a & \to & b = f(a)

\end{array}

También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.6

Ejemplos

La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R, con f(x) = x3 para cada número real x.

La función «inverso» es g: R \ {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo.

La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m, para cada mamífero conocido m.

La función «área» se puede denotar como A: T → R, y entonces A(t) = Área de t = B • H/2, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura.

La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a.

La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por ejemplo «la función f(n) = √n». En dicha expresión no se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se especifique dicha función. En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par (a1, a2) no se denota por f((a1, a2)), sino por f(a1, a2), y similarmente para más variables.

Existen además terminologías diversas en distintas ramas de las matemáticas para referirse a funciones con determinados dominios y codominios:

Función real: f: R → R

Función compleja: f: C → C

Función escalar: f: Rn → R

Función vectorial: f: Rn → Rm

También las sucesiones infinitas de elementos tales como a, b, c, ... son funciones, cuyo dominio en este caso son los números naturales. Las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u otras como «operador», «funcional», etc. pueden designar tipos concretos de función según el contexto. Adicionalmente, algunos autores restringen la palabra «función» para el caso en el que los elementos del conjunto inicial y final son números.

CODOMINIO

Imagen de una función f de dominio X y codominio Y. El óvalo pequeño dentro del codominio es la imagen (o rango) de f.

En matemáticas, el codominio o contradominio (también denominado conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa función, y se denota o o .

Sea la imagen de una función , entonces .

Ejemplo

Para una función

definida como una función cuadrática:

, o el equivalente ,

el codominio de es , pero siempre toma un valor positivo. Por lo tanto, la imagen de es el conjunto ; por ejemplo, el intervalo [0,∞).

DOMINIO

En Matemática se le da diversos usos a la palabra dominio:

Dominio de definición - Es el conjunto de valores para los que una determinada función matemática está definida.

Dominio de integridad - En álgebra, es un anillo (no necesariamente conmutativo ni unitario) que no tiene elementos divisores de cero.

Dominio (Geometría) - Es un conjunto conexo; algunos autores exigen además que sea compacto, otros exigen que sea abierto.

RANGO

El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles.

FUNCIÓN INYECTIVA

En matemáticas, una función es inyectiva si a elementos distintos del conjunto (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto (codominio) de . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

• Si son elementos de tales que , necesariamente se cumple .

• Si son elementos diferentes de , necesariamente se cumple

Simbólicamente,

que es equivalente a su contrarrecíproco

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

FUNCIÓN BIYECTIVA

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función f:

\begin{array}{rrcl}

f : & X & \to & Y \\

& x & \to & y = f(x)

\end{array}

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

\forall y \in Y

\; : \quad

\exists !\ x\in X

\; / \quad

f(x) = y

Es decir, si para todo y de Y se cumple que existe un único x de X, tal que la función evaluada en x es igual a y.

Dados dos conjuntos X e Y finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si X e Y tienen el mismo número de elementos.

FUNCIÓN INVERSA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

...