Representacion De La Serie De Taylor

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias

f(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots

que puede ser escrito de una manera más compacta como

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos dex.

Función exponencial y logaritmo natural

e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad, \forall x; n \in \mathbb{N}_0

\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

Serie geométrica

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Teorema del binomio

(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-\alpha)} x^n\quad

para \left| x \right| < 1\quady cualquier \alpha\quad complejo

Funciones trigonométricas

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x

\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x

\tan x = \sum^{\infin}_{n=20} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}

\csc{x}=\sum_{n=1}^\infty{\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad\mbox{, para } 0<\left |{x}\right |< \pi

\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

Funciones hiperbólicas

\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad , \forall x

\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x

\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}

\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

Función W de Lambert

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{1}{e}

Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

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