Representación de funciones con serie de Taylor

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Tema                                                                                                                                     Págs.

-Definición de sucesión.                                                                                                         1                                      

-Definición de serie.                                                                                                                2

       a) finita.

       b) infinita.

-Serie numérica y convergencia.                                                                                          3                                                      

1. Criterio de raíz.
2. Criterio de la integral.
3. Criterio de la brazon.

-Series de potencias.                                                                                                              4

-Radio de convergencia.                                                                                                        5

-Serie de Taylor.                                                                                                                      6

-Representación de funciones con serie de Taylor.                                                          7                              

1

Definición de sucesión.

Es una función cuyo dominio está constituido por el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido, que es un subconjunto de los números reales, se expresa en un listado como sigue: f (1), f (2), f (3),….f (n),……

Como variable independiente se acostumbra usar la letra " n" para indicar que, a diferencia de las funciones cuyos dominios son denotados con las últimas letras del abecedario y que consideran valores reales, en las sucesiones el dominio son los números naturales. Al enésimo término de la Sucesión f (n) también se le identifica con a (n), con an o bien con {an}.

2

Definición de serie.

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Cuando el número de términos es limitad, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie se llama sucesión infinita o una serie infinita.

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma o los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos a1+a2+a3+… lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatoria:

∑ an

Serie finita.

Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

2, 4, 8, 16, 32, 64,……

1, ½, 1/3, 1/4, 1/5

3, 6, 10, 12, 14, 20

Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita.

Por lo tanto, para ser finitas, la multiplicación de Couchy es directamente la multiplicación de las series.

Xi = 0 para toda i > n y y= 0 para todo i>m.

En este caso el producto  de Couchy de ∑xi y ∑yi

Se verifica con (x0 +…. +xn) (y0 +…. + ym)

Serie infinita.

Es un arreglo ordenado de números reales, una para cada entero positivo. Más formalmente una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante a1, a2, a3,……., simplemente por {an}. C(x, y) (n) = (a+b)n / n!

3

Serie numérica y convergencia.

Criterio de la raíz.

Es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias.

Sea ∑∞ n=1 an un s.t.p. y λ = limn→∞     √an. •

λ < 1 ⇒ ∑∞ n=1 an converge.

 λ > 1 ⇒ ∑∞ n=1 an diverge. λ = 1 ⇒?

Criterio de la integral.

Este criterio relaciona los conceptos de divergencia y convergencia de una integral impropia con los mismos de una serie infinita. Es para funciones continuas, no negativas y decrecientes.

∑f(n) ∞  con f disminuyendo monotónicamente converge o diverge si ∫ f(x) dx converge o diverge cuando L→ ∞.

4

Series de potencias.

Una serie del tipo: a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +……+ an xn +…. ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes, a0 a1 a2…. an… constantes, independientes de x, recibe el nombre de serie de potencias.

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