La serie de Taylor

Serie de Taylor

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

¿Para qué sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tengan la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

o expresado de otra forma

Donde n! es el factorial de n

F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Series de Taylor de funciones trigonométricas:

Función Seno

En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el mismo.

Primero se deriva varias veces la función y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada:

Aquí sí se puede observar como comienza a ser repetitivo después de la tercera derivada.

Para todo x

Ahora se puede formar la serie de Taylor observando el patrón:

Por lo tanto se puede hacer una serie para todos los casos

Función Coseno

Para el coseno el procedimiento es el mismo.

Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.

Después se va llenando la serie de Taylor para después hacer una ecuación general:

Por último se desarrolla la ecuación general para cualquier caso:

Sumatorio

El sumatorio, la sumatoria, o la operación de suma es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma ( ), y se define como:

Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i».

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:

La pirámide de cubos

Hemos construido una pirámide formada por cubos de madera, cada uno de ellos tiene un volumen de 1 dm³. En el piso superior hay un cubo, situado en el centro del segundo piso, formado por cuatro cubos. Estos cuatro cubos están situados en el centro del otro piso, formado por nueve cubos.

Para cada piso, obteníamos la superficie de los lados, le sumábamos la superficie superior y le

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